Сумма всех целых чисел от \(\displaystyle −9\) до \(\displaystyle 10\small\) содержит пары противоположных слагаемых: 

\(\displaystyle -9\) и \(\displaystyle 9\small,\)

\(\displaystyle -8\) и \(\displaystyle 8\small,\)

\(\displaystyle -7\) и \(\displaystyle 7\small,\)

\(\displaystyle -6\) и \(\displaystyle 6\small,\)

\(\displaystyle -5\) и \(\displaystyle 5\small,\)

\(\displaystyle -4\) и \(\displaystyle 4\small,\)

\(\displaystyle -3\) и \(\displaystyle 3\small,\)

\(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 2\small,\)

\(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 1\)

и еще числа \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 10\small.\)

Сумма противоположных чисел равна нулю. 

Следовательно, в каждой паре противоположных слагаемых сумма будет \(\displaystyle 0\)

и в результате мы получим сумму нулей и слагаемого \(\displaystyle 10\small,\) то есть \(\displaystyle 10\small.\)
 

Ответ: \(\displaystyle 10\small.\)