Найдите нули функции
\(\displaystyle y=\frac{5x+10}{x^2+1}\small.\)
Если нули существуют, то в ответе укажите меньший из нулей. Если нет – оставьте поле ввода пустым.
Напомним определение:
Нули функции \(\displaystyle y=f(x)\) – это такие значения \(\displaystyle x\small,\) для которых \(\displaystyle f(x)=0\small.\)
Тогда, чтобы найти нули функции, необходимо найти такие значения \(\displaystyle x\small,\) для которых
\(\displaystyle \frac{5x+10}{x^2+1}=0\small.\)
\(\displaystyle x=-2{\small.}\)
Решим уравнение.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Числитель равен нулю, если
\(\displaystyle 5x+10=0\small,\)
\(\displaystyle 5x=-10\small,\)
\(\displaystyle x=-2\small.\)
- Проверим, обращается ли знаменатель \(\displaystyle {x^2+1}=0\) в ноль при найденном значении \(\displaystyle x=-2\small.\)
Подставим \(\displaystyle x=-2\small\) в выражение \(\displaystyle {x^2+1}{\small:}\)
\(\displaystyle {x^2+1}=(-2)^2+1 = 4+1 \,\, \cancel =\,\,0\small.\)
\(\displaystyle {x^2}+1>0\) при любых действительных значениях \(\displaystyle x{\small.}\)
Действительно, добавляя к неотрицательному \(\displaystyle {x^2} \) положительное число \(\displaystyle 1{\small,}\) получим положительное число.
Значит, \(\displaystyle x=-2\) – решение исходного уравнения.
Получили, что функция \(\displaystyle y=\frac{5x+10}{x^2+1}\) имеет единственный нуль \(\displaystyle x=-2 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x=-2\small.\)