Проверьте, является ли функция \(\displaystyle f(x)=x^5+x^3+x\) нечётной.
Выберите верный ответ:
Требуется проверить, является ли функция \(\displaystyle f(x)=x^5+x^3+x\) нечётной.
Функция \(\displaystyle y=f(x)\) называется нечётной, если выполнены следующие условия:
- область определения функции симметрична относительно начала координат;
- для любого \(\displaystyle x\) из области определения функции справедливо равенство
\(\displaystyle f(-x)=-f(x) {\small.}\)
Пусть
- область определения функции \(\displaystyle f(x)\) является множеством, симметричным относительно нуля;
- найдено \(\displaystyle f(-x){\small . } \)
Тогда функция является нечётной, если \(\displaystyle f(-x)=-f(x){\small . } \)
Таким образом, для установления нечётности достаточно найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства.
Функция \(\displaystyle f(x)=x^5+x^3+x\) определена для любых \(\displaystyle x{\small,}\) поэтому достаточно проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=-f(\color{red}{x}) {\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}\) вместо \(\displaystyle \color{red}{x}\) в \(\displaystyle f(\color{red}{x}){\small .}\)
Для удобства перепишем выражение для функции со скобками:
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=\color{red}{ x}^5+\color{red}{ x}^3+\color{red}{x}=(\color{red}{ x})^5+(\color{red}{ x})^3+(\color{red}{x}){\small,} \)
а затем уже подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}{\small .}\)
Получим:
\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=(\color{blue}{ -x})^5+(\color{blue}{ -x})^3+(\color{blue}{ -x})=-x^5-x^3-x=-(x^5+x^3+x){\small.} \)
Таким образом:
| была функция | \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=x^5+x^3+x {\small ,} \) | |
| после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили | \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=-(x^5+x^3+x){\small.}\) |
Видим, что
\(\displaystyle f(-x)=-f(x) {\small.}\)
Значит, функция \(\displaystyle f(x)=x^5+x^3+x\) является нечётной.
Ответ: функция является нечётной.