Для функции \(\displaystyle f(x)=x^3+2\) выберите верное утверждение:
Требуется определить, является ли функция \(\displaystyle f(x)=x^3+2\) чётной или нечётной.
Пусть
- область определения функции \(\displaystyle f(x)\) является множеством, симметричным относительно нуля;
- найдено \(\displaystyle f(-x){\small . } \)
Тогда:
- функция является четной, если \(\displaystyle f(-x)=f(x){\small ; } \)
- функция является нечетной, если \(\displaystyle f(-x)=-f(x){\small . } \)
Таким образом, для установления четности-нечетности достаточно найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение одного из равенств.
Функция \(\displaystyle f(x)=x^3+2\) определена для любых \(\displaystyle x{\small.}\)
Найдем \(\displaystyle f(-x) {\small.}\)
Для этого в \(\displaystyle f(\color{red}{ x})=\color{red}{ x}^3+2\) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x}\) подставим \(\displaystyle \color{blue}{ -x} {\small.}\)
Расставим скобки
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=(\color{red}{ x})^3+2\)
и выполним подстановку:
\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=(\color{blue}{ -x})^3+2=-x^3+2 {\small.}\)
Таким образом:
| была функция | \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=x^3+2 {\small ,} \) | |
| после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили | \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=-x^3+2=-(x^3-2){\small.}\) |
Видим, что
\(\displaystyle f(-x) \ \cancel=\ f(x)\) и \(\displaystyle f(-x) \ \cancel=\ -f(x) {\small.}\)
Значит, функция \(\displaystyle f(x)=x^3+2\) не является ни чётной, ни нечетной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечетной.