В школьной библиотеке хранится \(\displaystyle 5000\) учебников по разным предметам. После того, как библиотека дополнительно получила еще \(\displaystyle 500\) учебников по русскому языку, доля учебников по алгебре стала равной \(\displaystyle 20\%\). Сколько процентов составляли учебники по алгебре в школьной библиотеке первоначально?
\(\displaystyle \%\)
Пусть изначально в школьной библиотеке учебники по алгебре составляли \(\displaystyle x\%\) от общего числа учебников. Запишем соотношение:
| \(\displaystyle x\%\) учебников по алгебре | в \(\displaystyle 5000\) учебников, | |
| \(\displaystyle 20\%\) учебников по алгебре | в \(\displaystyle 5000+500=5500\) учебников. |
Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – общее число учебников и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процент учебников по алгебре в общем числе учебников.
Признак обратной пропорции для задач с процентами
Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}{\small,}\) остается постоянной.
Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%{\small.}\)
По условию задачи \(\displaystyle x\%\) от \(\displaystyle 5000\) учебников равно количеству учебников по алгебре в исходном числе учебников. В свою очередь, \(\displaystyle 20\%\) от \(\displaystyle 5500\) учебников тоже равно количеству учебников по алгебре в новом числе учебников. И поскольку количество учебников по алгебре в общем числе учебников не меняется, то по признаку обратной пропорции данные величины обратно пропорциональны.
Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при увеличении общего числа учебников в несколько раз (за счет приобретения некоторого количества учебников по русскому языку) процентная доля учебников по алгебре в нем уменьшается во столько же раз (так как по условию количество учебников по алгебре в общем числе учебников не изменяется).
Обратная пропорциональная зависимость
Пусть дана обратная пропорциональная зависимость:
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b{\small,}\)
\(\displaystyle c\) \(\displaystyle d{\small.}\)
Тогда можно записать следующее равенство:
\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d{\small.}\)
Тогда получаем уравнение:
\(\displaystyle x\cdot 5000=20\cdot 5500{\small;}\)
\(\displaystyle x=\frac{20\cdot 5500}{5000}=22{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 22\%{\small.}\)