Найдите скалярное произведение векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}{\small,}\) если \(\displaystyle |\overrightarrow {a}|=2{\small,}\) \(\displaystyle |\overrightarrow {b}|=\sqrt 2\) и угол между векторами равен \(\displaystyle 135^{\circ}.\)
Скалярным произведением векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) называется число
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}),\)
\(\displaystyle \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}\)– угол между векторами \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}.\)
По условию
\(\displaystyle |\overrightarrow {a}|=2,\) \(\displaystyle |\overrightarrow {b}|=\sqrt 2,\) \(\displaystyle \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}=135^{\circ}.\)
Тогда
\(\displaystyle \cos (\widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}})=\cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt 2}{2}.\)
Значит,
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos (\widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}})=2\cdot \sqrt 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)=-2.\)
Ответ: \(\displaystyle -2.\)