Выберите верные утверждения.
Проверим, верно ли каждое из данных в условии утверждений.
\(\displaystyle \!"\)Если \(\displaystyle x\in\bf Q{\small ,}\) то всегда \(\displaystyle x\in\bf {R}\)\(\displaystyle \!"\)– верное утверждение.
Действительные числа
Действительные числа – это все бесконечные десятичные дроби (периодические и непериодические).
Обозначение: \(\displaystyle \bf {R}\)– множество действительных чисел.
Множество рациональных чисел \(\displaystyle \bf {Q}\)– это все бесконечные десятичные периодические дроби.
Так как всякое рациональное число – бесконечная периодическая десятичная дробь, а множество действительных чисел содержит все такие дроби, то всякое рациональное число является действительным.
То есть верно, что если \(\displaystyle x\in\bf Q{\small ,}\) то \(\displaystyle x\in\bf {R}{\small .}\)
\(\displaystyle \!"\)Если \(\displaystyle x\in\bf R{\small ,}\) то всегда \(\displaystyle x\in\bf Q\)\(\displaystyle \!"\)– неверное утверждение.
\(\displaystyle \!"\)Если \(\displaystyle x\in\bf R{\small ,}\) то всегда \(\displaystyle x\notin\bf Z\)\(\displaystyle \!"\)– неверное утверждение.
Действительные числа – это все бесконечные десятичные дроби (периодические и непериодические).
Возьмём из множества \(\displaystyle \bf {R}\) бесконечную десятичную периодическую дробь с периодом \(\displaystyle 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=7{,}(0){\small .}\)
Поскольку
\(\displaystyle 7{,}(0)=7{\small }\) и \(\displaystyle 7\in \bf {Z}=\begin{Bmatrix}{\small ...}{\small ,} \ -3{\small ,} \ -2{\small ,} \ -1{\small ,} \ 0{\small ,} \ 1{\small ,}\ 2{\small ,} \ 3{\small ,} {\small ...}\end{Bmatrix}{\small ,}\)
то нашли число, которое одновременно является действительным и целым.
Значит, не всегда если \(\displaystyle x\in\bf R{\small ,}\) то \(\displaystyle x\notin\bf Z{\small .}\)