C геометрической точки зрения, решениями уравнения
\(\displaystyle x^2+\dfrac{1}{x}=0{\small.}\)
являются абсциссы точек пересечения графиков функций
\(\displaystyle y =x^2+\dfrac{1}{x}\) и \(\displaystyle y=0 {\small.}\)
Пока мы еще не умеем строить график функции \(\displaystyle y=x^2+\frac{1}{x} {\small.}\)
Но если записать исходное уравнение в виде
\(\displaystyle x^2=-\dfrac{1}{x} {\small,}\)
то сможем решить его графически, построив графики функций \(\displaystyle y =x^2\) и\(\displaystyle y =-\dfrac{1}{x}{\small.}\)
1. Построим графики данных функций.
Построим график функции \(\displaystyle y=x^2{\small }\)– параболу.
Составим таблицу значений данной функции:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) |
| \(\displaystyle y=x^2\) | \(\displaystyle \,\,\,(-2)^2\) | \(\displaystyle \,\,\,(-1)^2\) | \(\displaystyle \,\,0^2\) | \(\displaystyle \,\,1^2\) | \(\displaystyle \,\,2^2\) |
Вычислим значения:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) |
| \(\displaystyle y=x^2\) | \(\displaystyle \,\,\,4\) | \(\displaystyle \,\,\,1\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 4\) |
Построим полученные точки на плоскости и соединим их линией.
Построим на этом же рисунке график функции \(\displaystyle y=-\dfrac{1}{x}{\small }\)– гиперболу.
Составим таблицу значений данной функции:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -0{,}5\) | \(\displaystyle \,\,0{,}5\) | \(\displaystyle \,\,1\) | \(\displaystyle \,\,2\) |
| \(\displaystyle y=-\dfrac{1}{x}\) | \(\displaystyle -\dfrac{\,\,\,1}{-2}\) | \(\displaystyle -\dfrac{\,\,\,1}{-1}\) | \(\displaystyle -\dfrac{{\,\,\,1}}{-0{,}5}\) | \(\displaystyle -\dfrac{1}{0{,}5}\) | \(\displaystyle -\dfrac{1}{1}\) | \(\displaystyle -\dfrac{1}{2}\) |
Вычислим значения:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -0{,}5\) | \(\displaystyle \,0{,}5\) | \(\displaystyle \,\,1\) | \(\displaystyle \,2\) |
| \(\displaystyle y=-\dfrac{1}{x}\) | \(\displaystyle 0{,}5\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -0{,}5\) |
Построим полученные точки на плоскости и соединим их линией.
2. Найдём точки пересечения параболы и гиперболы и определим их абсциссы.
Видим, что парабола и гипербола пересекаются в единственной точке с абсциссой \(\displaystyle \color {red} {x=-1 }{\small.}\)
3. Проверим, что найденное значение \(\displaystyle x\) удовлетворяет исходному уравнению \(\displaystyle x^2+\dfrac{1}{x}=0{\small.}\)
При \(\displaystyle x=-1\) получаем \(\displaystyle (-1)^2+\dfrac{1}{(-1)}=0 {\small,}\) что верно.
Ответ: \(\displaystyle -1{\small.}\)
