Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна \(\displaystyle 160^{\circ}{\small,}\) а бóльшая точкой \(\displaystyle C\) делится в отношении \(\displaystyle 3:7{\small,}\) считая от точки \(\displaystyle A{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle BAC{\small.}\)
\(\displaystyle \angle BAC=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
 |
\(\displaystyle {\small \smile}AC=3t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=7t{\small.}\) Требуется найти угол \(\displaystyle BAC{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle BAC\) – вписанный угол.
| Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. |  |
Следовательно,
\(\displaystyle \angle BAC=\frac{1}{2}{\small \smile}BC{\small.}\)
Найдём градусную меру дуги \(\displaystyle BC{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}AC=360^{\circ}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle 160^{\circ}+7t+3t=360^{\circ}{\small.}\)
Найдём \(\displaystyle t{\small:}\)
\(\displaystyle 10t=200^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle t=20^{\circ}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle {\small \smile}BC=7t=7 \cdot 20^{\circ}=140^{\circ}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle BAC=\frac{1}{2}{\small \smile}BC=\frac{1}{2} \cdot 140^{\circ}=70^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle BAC=70^{\circ}{\small.}\)