Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Центральный и вписанный углы - 1

Задание

В окружность вписан треугольник \(\displaystyle ABC\) так, что \(\displaystyle AB\) – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если \(\displaystyle {\small \smile} BC=128^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \angle A=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small,}\)     \(\displaystyle \angle B=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small,}\)     \(\displaystyle \angle C=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

Углы треугольника \(\displaystyle ABC\) являются вписанными углами окружности.

Значит,

\(\displaystyle \angle A= \frac{1}{2}{\small \smile}BC{\small;}\)     \(\displaystyle \angle B= \frac{1}{2}{\small \smile}AC{\small;}\)     \(\displaystyle \angle C= \frac{1}{2}{\small \smile}AB{\small.}\)

Определим длины дуг:

  • \(\displaystyle {\small \smile} BC=128^{\circ}\) – по условию.

  • Так как \(\displaystyle AB\) – диаметр, то дуга \(\displaystyle AB\) является полуокружностью, то есть

\(\displaystyle {\small \smile} AB=180^{\circ}{\small.}\)

  • Так как сумма длин всех дуг, составляющих окружность, равна \(\displaystyle 360^{\circ}{\small,}\) то

\(\displaystyle {\small \smile} AC=360^{\circ}-({\small \smile} AB+{\small \smile} BC){\small;}\)

\(\displaystyle {\small \smile} AC=360^{\circ}-(180^{\circ}+128^{\circ})=52^{\circ}{\small.}\)

Найдём углы треугольника:

  • \(\displaystyle \angle A= \frac{1}{2}{\small \smile}BC=\frac{1}{2} \cdot 128^{\circ}=64^{\circ}{\small;}\)

 

  • \(\displaystyle \angle B= \frac{1}{2}{\small \smile}AC=\frac{1}{2} \cdot 52^{\circ}=26^{\circ}{\small;}\)

 

  • \(\displaystyle \angle C= \frac{1}{2}{\small \smile}AB=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ}{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \angle A=64^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle B=26^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle C=90^{\circ}{\small.}\)

Замечание / комментарий

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\)