Окружность разделена точками \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C{\small,}\) \(\displaystyle D\) на дуги. Известно отношение градусных мер этих дуг: \(\displaystyle {\small \smile}AB:{\small \smile}BC:{\small \smile}CD:{\small \smile}AD=3:3:4:5{\small.}\) Проведены хорды \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small,}\) пересекающиеся в точке \(\displaystyle M{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle AMB{\small.}\)
\(\displaystyle \angle AMB=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle \angle AMB\) – это угол между пересекающимися хордами окружности, значит,
\(\displaystyle \angle AMB=\frac{{\small \smile}AB+{\small \smile}CD}{2}{\small.}\)
Определим градусные меры дуг \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}CD+{\small \smile}AD=360^{\circ}{\small.}\)
 | По условию \(\displaystyle {\small \smile}AB:{\small \smile}BC:{\small \smile}CD:{\small \smile}AD=3:3:4:5{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}AB=\color{red}{3t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=\color{darkviolet}{3t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}CD=\color{orange}{4t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AD=\color{green}{5t}{\small.}\) |
Тогда
\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}CD+{\small \smile}AD=\color{red}{3t}+\color{darkviolet}{3t}+\color{orange}{4t}+\color{green}{5t}=15t{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 15t=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle t=24^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AB=72^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}CD=96^{\circ}{\small.}\)
Найдём градусную меру угла \(\displaystyle AMB{\small:}\)
\(\displaystyle \angle AMB=\frac{{\small \smile}AB+{\small \smile}CD}{2}=\frac{72^{\circ}+96^{\circ}}{2}=\frac{168^{\circ}}{2}=84^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle AMB=84^{\circ}{\small.}\)