Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Углы между пересекающимися хордами

Задание

Прямая \(\displaystyle PK{\small,}\) соединяющая середины дуг \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small,}\) где \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) – три точки одной окружности, отсекает на хордах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) отрезки \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle AN\) соответственно. Найдите углы треугольника \(\displaystyle AMN{\small,}\) если \(\displaystyle {\small \smile}AB=140^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AC=80^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \angle A=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\)     \(\displaystyle \angle M=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\)     \(\displaystyle \angle N=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение
  • \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) – хорды окружности;
  • \(\displaystyle {\small \smile}AB=140^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle P\) – середина дуги \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle {\small \smile}AC=80^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle K\) – середина дуги \(\displaystyle AC{\small;}\)
  • \(\displaystyle M\) – точка пересечения хорд \(\displaystyle PK\) и \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – точка пересечения хорд \(\displaystyle PK\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

Требуется найти углы треугольника \(\displaystyle AMN{\small.}\)

 

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle AMN{\small.}\)

Угол \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle AMN\) совпадает с углом \(\displaystyle BAC{\small.}\) 

\(\displaystyle \angle BAC\) вписан в окружность и опирается на дугу \(\displaystyle BC{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle BAC=\frac{1}{2}{\small \smile}BC{\small.}\)

Так как сумма градусных мер всех дуг, составляющих окружность, равна \(\displaystyle 360^{\circ}{\small}\) то

\(\displaystyle {\small \smile}BC=360^{\circ}-({\small \smile}AB+{\small \smile}AC){\small;}\)

\(\displaystyle {\small \smile}BC=360^{\circ}-(140^{\circ}+80^{\circ})=360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \angle BAC=\frac{1}{2} \cdot 140^{\circ}=70^{\circ}{\small.}\)

То есть угол \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle AMN\) равен \(\displaystyle 70^{\circ}{\small.}\)

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle M\) треугольника \(\displaystyle AMN{\small.}\)

Угол \(\displaystyle M\) треугольника \(\displaystyle AMN\) совпадает с углом \(\displaystyle AMK{\small.}\)

\(\displaystyle \angle AMK\) – это угол между пересекающимися хордами \(\displaystyle PK\) и \(\displaystyle AB{\small,}\) которые высекают на окружности дуги \(\displaystyle BP\) и \(\displaystyle AK{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle AMK=\frac{{\small \smile}BP+{\small \smile}AK}{2}{\small.}\)

  • Точка \(\displaystyle P\) делит дугу \(\displaystyle AB\) пополам, значит,

\(\displaystyle {\small \smile}BP=\frac{1}{2}{\small \smile}AB=\frac{1}{2} \cdot 140^{\circ}=70^{\circ}{\small.}\)

  • Точка \(\displaystyle K\) делит дугу \(\displaystyle AC\) пополам, значит,

\(\displaystyle {\small \smile}AK=\frac{1}{2}{\small \smile}AC=\frac{1}{2} \cdot 80^{\circ}=40^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \angle AMK=\frac{70^{\circ}+40^{\circ}}{2}=\frac{110^{\circ}}{2}=55^{\circ}{\small.}\)

То есть угол \(\displaystyle M\) треугольника \(\displaystyle AMN\) равен \(\displaystyle 55^{\circ}{\small.}\)

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle N\) треугольника \(\displaystyle AMN{\small.}\)

Угол \(\displaystyle N\) треугольника \(\displaystyle AMN\) совпадает с углом \(\displaystyle ANP{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ANP\) – это угол между пересекающимися хордами \(\displaystyle PK\) и \(\displaystyle AC{\small,}\) которые высекают на окружности дуги \(\displaystyle AP\) и \(\displaystyle CK{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle ANP=\frac{{\small \smile}AP+{\small \smile}CK}{2}{\small.}\)

  • Точка \(\displaystyle P\) делит дугу \(\displaystyle AB\) пополам, значит,

\(\displaystyle {\small \smile}AP=\frac{1}{2}{\small \smile}AB=\frac{1}{2} \cdot 140^{\circ}=70^{\circ}{\small.}\)

  • Точка \(\displaystyle K\) делит дугу \(\displaystyle AC\) пополам, значит,

\(\displaystyle {\small \smile}CK=\frac{1}{2}{\small \smile}AC=\frac{1}{2} \cdot 80^{\circ}=40^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \angle ANP=\frac{70^{\circ}+40^{\circ}}{2}=\frac{110^{\circ}}{2}=55^{\circ}{\small.}\)

То есть угол \(\displaystyle N\) треугольника \(\displaystyle AMN\) равен \(\displaystyle 55^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle A=70^{\circ}{\small;}\)   \(\displaystyle \angle M=55^{\circ}{\small;}\)   \(\displaystyle \angle N=55^{\circ}{\small.}\)