Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанный четырёхугольник:

\(\displaystyle AB:BC:CD=2:3:5{\small,}\) то есть \(\displaystyle AB=2t{\small,}\)   \(\displaystyle BC=3t{\small,}\)   \(\displaystyle CD=5t{\small;}\) \(\displaystyle P_{ABCD}=56{\small.}\) Требуется найти бóльшую сторону четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

свойство описанного четырёхугольника

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Значит,

\(\displaystyle AB+CD=BC+AD{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle 2t+5t=3t+AD{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle AD=2t+5t-3t=4t{\small.}\)

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть

\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2t+3t+5t+4t=14t{\small.}\)

По условию периметр четырёхугольника равен \(\displaystyle 56{\small,}\) значит,

\(\displaystyle 14t=56{\small;}\)

\(\displaystyle t=4{\small.}\)

Наибóльшая сторона данного четырёхугольника \(\displaystyle CD=20{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 20{\small.}\)