Для сторон четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small,}\) описанного около окружности, выполнены соотношения: \(\displaystyle \frac{AB}{BC}=0{,}75{\small,}\) \(\displaystyle \frac{AD}{CD}=0{,}4{\small.}\) Найдите бóльшую из сторон этого четырёхугольника, если его периметр равен \(\displaystyle 84{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанный четырёхугольник:
 |
\(\displaystyle AB=3a{\small,}\) \(\displaystyle BC=4a{\small;}\)
\(\displaystyle AD=2b{\small,}\) \(\displaystyle CD=5b{\small;}\)
|
Требуется найти бóльшую сторону четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small.}\)
В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. |  |
Значит,
\(\displaystyle AB+CD=BC+AD{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle 3a+5b=4a+2b{\small.}\)
\(\displaystyle a=3b{\small.}\)
\(\displaystyle AB=9b{\small;}\) \(\displaystyle BC=12b{\small;}\) \(\displaystyle CD=5b{\small;}\) \(\displaystyle AD=2b{\small.}\)
Наибóльшая сторона четырёхугольника \(\displaystyle BC=12b{\small.}\)
Найдём значение \(\displaystyle b{\small.}\)
Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть
\(\displaystyle\begin{aligned}P_{ABCD}=&AB+BC+CD+AD=\\&=9b+12b+5b+2b=28b{\small.}\end{aligned}\)
По условию \(\displaystyle P_{ABCD}=84{\small,}\) значит,
\(\displaystyle 28b=84{\small;}\)
\(\displaystyle b=3{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle BC=12b=12 \cdot 3=36{\small.}\)
Наибóльшая сторона данного четырёхугольника \(\displaystyle BC=36{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 36{\small.}\)