Укажите неравенства, которые гарантированно выполняются при \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small .}\)
Известно, что верны числовые неравенства \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small .}\)
Установим, верны ли при данных условиях неравенства \(\displaystyle m+n>9{\small,}\,\,m+n>7{\small}\) и \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)
Воспользуемся теоремой о сложении неравенств.
Сложение неравенств
Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small,}\)
то
\(\displaystyle \color{blue}{a}+\color{blue}{x}<\color{green}{b}+\color{green}{y}{\small.}\)
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Исходные неравенства имеют одинаковые знаки, поэтому можем их сложить:
\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------}}}{{+}\begin{aligned}\,\, \color{blue}{m}&>\color{green}{7}{\small}\\\color{blue}{n}&>\color{green}{2}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{blue}{m}+\color{blue}{n}>\color{green}{7}+\color{green}{2}{\small\ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
или
\(\displaystyle m+n>9{\small.}\)
Ранее получили, что для \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2\) верно неравенство \(\displaystyle m+n>9{\small.}\)
Кроме того, \(\displaystyle 9>7{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle m+n>9>7{\small,}\)
По свойству транзитивности неравенств получаем:
\(\displaystyle m+n>7{\small.}\)
По условию \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small .}\) Попробуем подобрать такие значения \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle n{\small ,}\) чтобы неравенство
\(\displaystyle m+n>10\)
оказалось неверно.
Возьмём \(\displaystyle m=7{,}5\) и \(\displaystyle n=2{,}1{\small .}\)
Тогда их сумма
\(\displaystyle m+n=7{,}5+2{,}1=9{,}6<10{\small.}\)
То есть нельзя утверждать, что для любых \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small }\) сумма \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle m+n>9{\small}\) и \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)