Известно, что
- \(\displaystyle f(x)\)– чётная функция, определенная для любого значения \(\displaystyle x {\small ;}\)
- уравнение \(\displaystyle f(x)=0\) имеет только два неотрицательных корня: \(\displaystyle x_1 =3{\small }\) и \(\displaystyle x_2 =11{\small .}\)
Укажите какие-нибудь два отрицательных корня уравнения \(\displaystyle f(x)=0{\small :}\)
\(\displaystyle x_3 =\) и \(\displaystyle x_4 =\) .
Вспомним определение чётной функции:
Функция \(\displaystyle y=f(x)\) называется чётной, если выполнены следующие условия:
- область определения функции симметрична относительно начала координат;
- для любого \(\displaystyle x\) из области определения функции справедливо равенство
\(\displaystyle f(-x)=f(x) {\small.}\)
По условию:
- уравнение \(\displaystyle f(x)=0\) имеет только два неотрицательных корня: \(\displaystyle x_1 =3{\small }\) и \(\displaystyle x_2 =11{\small .}\)
То есть \(\displaystyle f(\color{red}{3})=0\) и \(\displaystyle f(\color{blue}{11})=0{\small .}\)
Подставив \(\displaystyle \color{red}{x}=\color{red}{3}\) в равенство \(\displaystyle f(-\color{red}{x})=f(\color{red}{x}) {\small,}\) получаем
\(\displaystyle f(-\color{red}{3})=f(\color{red}{3})=0{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle -3\) является отрицательным корнем уравнения \(\displaystyle f(x)=0 {\small .}\)
Аналогично, при подстановке \(\displaystyle \color{blue}{x}=\color{blue}{11}{\small,}\)получаем
\(\displaystyle f(-\color{blue}{11})=f(\color{blue}{11})=0{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle -11\) также является отрицательным корнем уравнения \(\displaystyle f(x)=0 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x_3 =-3\)и \(\displaystyle x_4 =-11{\small .}\)