Решите неравенство:
\(\displaystyle |3x+6|\ge 27{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Требуется решить неравенство \(\displaystyle |3x+6|\ge 27{\small.}\)
Используем правило
Неравенства с модулем
Если \(\displaystyle a> 0\) положительное число, то множество решений неравенства
\(\displaystyle {\left|f(x)\right|\ge a}\)
является объединением множества решений неравенства \(\displaystyle {f(x)\le - a}\) и
множества решений неравенства \(\displaystyle {f(x)\ge a}\small.\)
при \(\displaystyle a=27{\small,}\) \(\displaystyle f(x)=3x+6{\small.}\)
Так как \(\displaystyle a=27>0{\small,}\) множество решений неравенства \(\displaystyle |3x+6|\ge 27\) является объединением множества решений неравенства \(\displaystyle {3x+6\le - 27}\) и множества решений неравенства \(\displaystyle {3x+6\ge 27}\small.\)
Решим полученные линейные неравенства.
Решим неравенство \(\displaystyle {3x+6\le -27}\small.\)
Вычтем из обеих частей неравенства \(\displaystyle \color{red}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{3x+6}\le \color{green}{ -27}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{blue}{3x+6}- \color{red}{6}\le \color{green}{ -27}- \color{red}{6}{\small ;}\)
\(\displaystyle 3x\le -33{\small. } \)
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle \color{red}{3}>0{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ 3x}\le \color{green}{ -33}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ 3x}: \color{red}{ 3}\le \color{green}{ -33}: \color{red}{ 3}{\small ;}\)
\(\displaystyle x\le -11{\small, } \)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;-11]{\small .}\)
Решим неравенство \(\displaystyle {3x+6\ge 27}\small.\)
Вычтем из обеих частей неравенства \(\displaystyle \color{red}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{3x+6}\ge \color{green}{ 27}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{blue}{3x+6}- \color{red}{6}\ge \color{green}{ 27}- \color{red}{6}{\small ;}\)
\(\displaystyle 3x\ge 21{\small. } \)
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle \color{red}{3}>0{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ 3x}\ge \color{green}{ 21}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ 3x}: \color{red}{ 3}\ge \color{green}{ 21}: \color{red}{ 3}{\small ;}\)
\(\displaystyle x\ge 7{\small, } \)
или \(\displaystyle x\in [7;+\infty ){\small .}\)
Тогда множество решений неравенства \(\displaystyle |3x+6|\ge 27{\small :}\)
\(\displaystyle x\in (-\infty ;-11]\cup [7;+\infty ){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty ;-11]\cup [7;+\infty ){\small .}\)