Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Уравнения в целых числах

Задание

Решите уравнение в целых числах:

\(\displaystyle (x-3)(y+2)=-5\small.\)

 

Решениями уравнения являются пары чисел (введите только необходимое количество различных решений, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется):

\(\displaystyle x=\)
4
\(\displaystyle {\small,}\ \ y=\)
-7
\(\displaystyle {\small;}\)
\(\displaystyle x=\)
8
\(\displaystyle {\small,}\ \ y=\)
-3
\(\displaystyle {\small;}\)
\(\displaystyle x=\)
2
\(\displaystyle {\small,}\ \ y=\)
3
\(\displaystyle {\small;}\)
\(\displaystyle x=\)
-2
\(\displaystyle {\small,}\ \ y=\)
-1
\(\displaystyle {\small.}\)
Решение

Требуется решить уравнение

\(\displaystyle (x-3)(y+2)=-5\small\)

в целых числах.

 

Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) целые, то числа \(\displaystyle (x-3)\) и \(\displaystyle (y+2)\) также целые.

Значит, мы представляем число \(\displaystyle -5\) в виде произведения двух целых чисел.

Если первый множитель натуральный, то есть только два варианта:

\(\displaystyle 1\cdot (-5)=-5\)  и  \(\displaystyle 5\cdot (-1) =-5\small;\)

\(\displaystyle x-3=1, y+2=-5\)  и  \(\displaystyle x-3=5, y+2=-1\small;\)

\(\displaystyle x=4, y=-7\)  и  \(\displaystyle x=8, y=-3\small.\)

 

Если первый множитель отрицателен, то получаются еще два решения

\(\displaystyle (-1)\cdot 5=-5\)  и  \(\displaystyle (-5)\cdot 1 =-5\small;\)

\(\displaystyle x-3=-1, y+2=5\)  и  \(\displaystyle x-3=-5, y+2=1\small;\)

\(\displaystyle x=2, y=3\)  и  \(\displaystyle x=-2, y=-1\small.\)


Таким образом, исходное уравнение имеет четыре решения:   

\(\displaystyle x=4, y=-7\small;\)   \(\displaystyle x=8, y=-3\small;\)   \(\displaystyle x=2, y=3\small;\)   \(\displaystyle x=-2, y=-1\small.\)


Ответ: \(\displaystyle x=4, y=-7\small;\)   \(\displaystyle x=8, y=-3\small;\)   \(\displaystyle x=2, y=3\small;\)   \(\displaystyle x=-2, y=-1\small.\)