Разложим левую часть уравнения на множители:

\(\displaystyle 2x^2-3xy-4x+6y=1\small,\)

\(\displaystyle (2x^2-3xy)-(4x-6y)=1\small,\)

\(\displaystyle x(2x-3y)-2(2x-3y)=1\small,\)

\(\displaystyle (x-2)(2x-3y)=1\small.\)

Решим уравнение

\(\displaystyle (x-2)(2x-3y)=1\small\)

в целых числах.

Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) целые, то числа \(\displaystyle (x-2)\) и \(\displaystyle (2x-3y)\) также целые.

Значит, мы представляем число \(\displaystyle 1\) в виде произведения двух целых чисел.

Если множители натуральные, то есть только один вариант:

\(\displaystyle 1\cdot 1 =1\small;\)

\(\displaystyle x-2=1, 2x-3y=1\small;\)

\(\displaystyle x=3, 2x-3y=1\small;\)

\(\displaystyle x=3, 6-3y=-1\small;\)

\(\displaystyle x=3, -3y=-7\small.\)

Целых значений \(\displaystyle y\small\) не получится, решений в целых числах в этом случае нет.

Если один из множителей отрицателен, то и второй тоже отрицателен, и получается еще один вариант

\(\displaystyle (-1)\cdot (-1) =1\small;\)

\(\displaystyle x-2=-1, 2x-3y=-1\small;\)

\(\displaystyle x=1, 2x-3y=-1\small;\)

\(\displaystyle x=1, 2-3y=-1\small;\)

\(\displaystyle x=1, -3y=-3\small;\)

\(\displaystyle x=1, y=1\small.\)

Таким образом, исходное уравнение имеет одно решение:   

\(\displaystyle x=1, y=1\small.\)

Ответ: \(\displaystyle x=1, y=1\small.\)