В левой части уравнения сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель:

\(\displaystyle (xy+2x)-3y=7\small,\)

\(\displaystyle x(y+2)-3y=7\small.\)

Вместо \(\displaystyle 3y\) хочется получить \(\displaystyle 3(y+2)\small,\) чтобы разложить на множители левую часть.

Так как 

\(\displaystyle 3(y+2)=3y+6\small,\)

можно вычесть из обеих частей число \(\displaystyle 6\small,\) а затем разложить на множители левую часть.

\(\displaystyle x(y+2)-3y-6=7-6\small,\)

\(\displaystyle x(y+2)-3(y+2)=1\small,\)

\(\displaystyle (x-3)(y+2)=1\small.\)

Решим уравнение

\(\displaystyle (x-3)(y+2)=1\small\)

в целых числах.

Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) целые, то числа \(\displaystyle (x-3)\) и \(\displaystyle (y+2)\) также целые.

Значит, мы представляем число \(\displaystyle 1\) в виде произведения двух целых чисел.

Если множители натуральные, то есть только один вариант:

\(\displaystyle 1\cdot 1 =1\small;\)

\(\displaystyle x-3=1, y+2=1\small;\)

\(\displaystyle x=4, y=-1\small.\)

Если один из множителей отрицателен, то и второй тоже отрицателен, и получается еще одно решение

\(\displaystyle (-1)\cdot (-1) =1\small;\)

\(\displaystyle x-3=-1, y+2=-1\small;\)

\(\displaystyle x=2, y=-3\small.\)

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:   

\(\displaystyle x=4, y=-1\small;\)   \(\displaystyle x=2, y=-3\small.\)

Ответ: \(\displaystyle x=4, y=-1\small;\)   \(\displaystyle x=2, y=-3\small.\)