Четыре точки двух прямых соединены ломаной \(\displaystyle ABCD{\small .}\)
Три звена этой ломаной пересекли третью прямую \(\displaystyle KN\) в точках \(\displaystyle K{\small ,\;}L\) и \(\displaystyle M{\small .}\)
На рисунке отмечены образовавшиеся в процессе построений две пары равных углов.
Дополните доказательство равенства углов \(\displaystyle BDC\) и \(\displaystyle DMN{\small .}\)
\(\displaystyle 1{\small .}~\angle BAC=\angle BKL{~\Large\Rightarrow}~\)\(\displaystyle ~{\footnotesize\it (по}\)\(\displaystyle {\footnotesize\it углам)}\)
\(\displaystyle 2{\small .}~\angle ACB=\angle CBD{~\Large\Rightarrow}~\)\(\displaystyle ~{\footnotesize\it (по}\)\(\displaystyle {\footnotesize\it углам)}\)
\(\displaystyle 3{\small .}\)\(\displaystyle \begin{cases}AC\parallel KN\\AC\parallel BD\end{cases}{~~~\Large\Rightarrow}~~~\)\(\displaystyle ~{\footnotesize\it (две~прямые~параллельны~третьей)}\)
\(\displaystyle 4{\small .}\)\(\displaystyle {\Large\Rightarrow}~\angle BDC=\angle DMN~{\footnotesize\it (}\)\(\displaystyle {\footnotesize\it углы~при~параллельных)}\)
Три звена ломаной рассмотрим как секущие, пересекающие прямые \(\displaystyle AC{\small ,\;}BD\) и \(\displaystyle KN{\small .}\)
Дополняется доказательство равенства накрест лежащих углов при прямых \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle KN{\small ,}\) пересечённых секущей \(\displaystyle DM{\small .}\)
Очевидно, это означает применение свойства параллельных прямых. Поэтому первая часть доказательства должна быть направлена на обоснование параллельности прямых \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle KN{\small .}\)
Последовательно дополним его пункты.
Если соответственные углы при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны.
Равенство углов \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle BKL\) обосновывает параллельность прямых \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle KN{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BAC=\angle BKL{~~\Large\Rightarrow}~~AC\parallel KN~{\footnotesize\it (по~соответственным~углам)}\)
Если накрест лежащие углы при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны.
Равенство углов \(\displaystyle ACB\) и \(\displaystyle CBD\) обосновывает параллельность прямых \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ACB=\angle CBD{~~\Large\Rightarrow}~~AC\parallel BD~{\footnotesize\it (по~накрест~лежащим~углам)}\)
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
В нашем случае доказана параллельность двух пар прямых: \(\displaystyle AC\parallel KN\) и \(\displaystyle AC\parallel BD{\small .}\)
Прямые \(\displaystyle KN\) и \(\displaystyle BD\) параллельны одной и той же прямой \(\displaystyle AC\small.\) Значит, они параллельны между собой:
\(\displaystyle \begin{cases}AC\parallel KN\\AC\parallel BD\end{cases}{~~~\Large\Rightarrow}~~~BD\parallel KN~{\footnotesize\it (две~прямые~параллельны~третьей)}\)
Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.
Углы \(\displaystyle BDC\) и \(\displaystyle DMN\) являются накрест лежащими при пересечении секущей \(\displaystyle DM\) пары прямых, параллельность которых только что доказана:
\(\displaystyle BD\parallel KN~{\Large\Rightarrow}~\angle BDC=\angle DMN~{\footnotesize\it (накрест~лежащие~углы~при~параллельных)}\)
Дополняем пункты доказательства восстановленными данными.
| Ответ: |  |