В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) углы при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) прямые.
Известно равенство двух пар сторон:
\(\displaystyle AB=AD\) и \(\displaystyle BC=CD{\small .}\)
Дополните доказательство перпендикулярности сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
Проведём отрезок
| \(\displaystyle 1{\small .}~~ \begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases} \) | \(\displaystyle {\scriptsize\it ~~~(углы~при~основании~равнобедренного~треугольника)}\) | \(\displaystyle \Large\Rightarrow\) | \(\displaystyle \angle ABD=\)\(\displaystyle \degree \) | |
\(\displaystyle {\scriptsize\it~~~ (острые~углы~прямоугольного~треугольника)}\) |
| \(\displaystyle 2{\small .}~~ \begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases} \) | \(\displaystyle {\scriptsize\it ~~~(углы~при~основании~равнобедренного~треугольника)}\) | \(\displaystyle \Large\Rightarrow\) | \(\displaystyle \angle CBD=\)\(\displaystyle \degree \) | |
\(\displaystyle {\scriptsize\it~~~ (острые~углы~прямоугольного~треугольника)}\) |
\(\displaystyle 3{\small .}~~~~~~~\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=\)\(\displaystyle \degree \)
Восстановим доказательство по пунктам.
В первом пункте используется свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Чтобы отмеченные равные отрезки стали сторонами равнобедренных треугольников, следует провести отрезок \(\displaystyle BD{\small .}\)
Угол \(\displaystyle ABD\) является углом при основании равнобедренного треугольника \(\displaystyle ABD{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Находим второй угол при основании и соответствующий фрагмент для дополнения доказательства:
\(\displaystyle \angle ABD=\angle ADB{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ABD\) является также прямоугольным, а вычисляемый угол \(\displaystyle ABD~-\) одним из его острых углов.
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника составляет \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Находим соответствующее равенство среди предложенных фрагментов:
\(\displaystyle \angle ABD+\angle ADB=90\degree \)
Пользуясь равенством углов, можем заменить в этом выражении угол \(\displaystyle ADB\) на угол \(\displaystyle ABD{\small .}\) Это позволяет вычислить искомую величину:
\(\displaystyle \angle ABD=\frac{90\degree }{2}=\)\(\displaystyle 45\degree {\small .}\)
Угол \(\displaystyle CBD\) является углом при основании равнобедренного треугольника \(\displaystyle BCD{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Находим второй угол при основании и соответствующий фрагмент для дополнения доказательства:
\(\displaystyle \angle CBD=\angle CDB{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle BCD\) является также прямоугольным, а вычисляемый угол \(\displaystyle CBD~-\) одним из его острых углов.
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника составляет \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Находим соответствующее равенство среди предложенных фрагментов:
\(\displaystyle \angle CBD+\angle CDB=90\degree {\small .}\)
Пользуясь равенством углов, можем заменить в этом выражении угол \(\displaystyle CDB\) на угол \(\displaystyle CBD{\small .}\) Это позволяет вычислить искомую величину:
\(\displaystyle \angle CBD=\frac{90\degree }{2}=\)\(\displaystyle 45\degree {\small .}\)
\(\displaystyle \angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=45\degree +45\degree =\)\(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Полученное равенство и означает перпендикулярность отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
| Ответ: |  |