Длины трёх отрезков обозначены буквами \(\displaystyle a{\small ,\;}b\) и \(\displaystyle c{\small .}\)
Ровно в трёх из предложенных примеров все три отрезка – стороны треугольника.
Найдите эти три примера.
Длина каждой из сторон треугольника строго меньше суммы длин двух его других сторон.
На рисунке длины сторон треугольника обозначены буквами \(\displaystyle a{\small ,\;}b\) и \(\displaystyle c{\small .}\) Значит, выполненны три неравенства:
\(\displaystyle a<b+c{\small ,\;}~~~~~~b<a+c\) и \(\displaystyle c<a+b{\small .}\)
Часто бывает необходимо проверить, удовлетворяют ли три положительных числа трём рассматриваемым неравенствам. Если известно, что, например, \(\displaystyle a~-\) длина большего из трёх отрезков, достаточно проверить только неравенство для неё:
\(\displaystyle a<b+c{\small .}\)
Действительно, сама по себе большая сторона \(\displaystyle a\) не короче любой из других \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small .}\) А в сумме с любой из них она длиннее оставшейся. То есть два из трёх неравенств выполняются "автоматически" и утверждение можно сформулировать конкретнее.
В произвольном треугольнике большая из длин сторон меньше суммы длин других сторон.
\(\displaystyle ~~~~~1{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=5{\small ,\;}~b=3{\small ,\;}~c=1\) длины отрезков не удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle a\) больше суммы длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 5>3+1{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~2{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=4{\small ,\;}~b=2{\small ,\;}~c=9\) длины отрезков не удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle c\) больше суммы длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 9>4+2{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~3{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=1{\small ,\;}~b=2{\small ,\;}~c=3\) длины отрезков не удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle c\) равна сумме длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 3=1+2{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~4{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=7{\small ,\;}~b=2{\small ,\;}~c=9\) длины отрезков не удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle c\) равна сумме длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 9=7+2{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~5{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=4{\small ,\;}~b=6{\small ,\;}~c=7{\small .}\) длины отрезков удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle c\) меньше суммы длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 7<4+6{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~6{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=5{\small ,\;}~b=5{\small ,\;}~c=5{\small .}\) длины отрезков удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle a\) меньше суммы длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 5<5+5{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~7{\small .}\) В примере \(\displaystyle a=3{\small ,\;}~b=1{\small ,\;}~c=3{\small .}\) длины отрезков удовлетворяют правилу треугольника. Большая длина отрезка \(\displaystyle a\) меньше суммы длин двух оставшихся отрезков:
\(\displaystyle 3<1+3{\small .}\)
В условии утверждается, что отрезки ровно в трёх примерах являются сторонами треугольника. Поскольку неравенству треугольника удовлетворяют отрезки ровно трёх примеров, именно они и входят в ответ.
Ответ: отрезки являются сторонами треугольника в примерах
- \(\displaystyle a=4{\small ,\;}~b=6{\small ,\;}~c=7{\text ;}\)
- \(\displaystyle a=5{\small ,\;}~b=5{\small ,\;}~c=5{\text ;}\)
- \(\displaystyle a=3{\small ,\;}~b=1{\small ,\;}~c=3{\small .}\)