В треугольнике \(\displaystyle ABC\) длины двух сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC\) обозначены через \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\) а длина медианы \(\displaystyle CM~-\) через \(\displaystyle m{\small .}\)
Дополните доказательство неравенства \(\displaystyle m<\frac{a+b}{2}\) для этих величин.
На продолжении отрезка \(\displaystyle CM\) за точку \(\displaystyle M\) отложим равный ему отрезок \(\displaystyle MD\).
\(\displaystyle ~~~~~1{\small .}~\) Обнаруживаем два равных треугольника:
| \(\displaystyle \begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}\) | \(\displaystyle {\footnotesize\it ( определение~ медианы)}\) | |||||
| \(\displaystyle {\footnotesize\it (по~ построению)}~~~~{\LARGE\Rightarrow}\) | \(\displaystyle {\bf\triangle}ADM={\bf\triangle}\) \(\displaystyle {\footnotesize\it (по~первому~ признаку)}\) | |||||
| \(\displaystyle \angle AMD=\angle BMC\) | \(\displaystyle {\footnotesize\it (вертикальные~ углы)}\) | |||||
\(\displaystyle ~~~~~2{\small .}~\) Поскольку в равных треугольниках равны стороны, противолежащие равным углам, то
\(\displaystyle ~~~~~3{\small .}~\) Выпишем неравенство треугольника для сторон треугольника \(\displaystyle {\text :}\)
Преобразуя это неравенство, получаем требуемое: \(\displaystyle m<\frac{a+b}{2}{\small .}\)
Восстановим доказательство, последовательно заполняя пропуски.
Дополним рисунок отрезком \(\displaystyle AD{\small .}\)
Ищем треугольник, равный треугольнику \(\displaystyle ADM{\small .}\)
В решении уже указана пара вертикальных углов: \(\displaystyle \angle AMD=\angle BMC{\small .}\)
Чтобы использовать первый признак равенства треугольников, нужно найти две пары равных сторон, заключающих эти углы. Их сразу видно на чертеже:
- \(\displaystyle AM=BM\) так как \(\displaystyle CM\) медиана треугольника \(\displaystyle ABC{\text ;}\)
- \(\displaystyle CM=DM\) так как отрезок \(\displaystyle DM\) откладывался как равный отрезку \(\displaystyle CM{\small .}\)
По первому признаку равенства треугольники \(\displaystyle ADM\) и \(\displaystyle BCM\) равны.
Можем заполнить пропуски в первом пункте.
В равных треугольниках равны стороны, противолежащие равным углам.
Стороны \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) равных треугольников противолежат вертикальными углам. Значит,
\(\displaystyle AD=BC=a{\small .}\)
Это позволяет заполнить пропуски второго пункта.
Доказываемое неравенство связывает числа \(\displaystyle a{\small ,\;}b\) и \(\displaystyle m{\small .}\) Проведённое построение привело к тому, что отрезки с такими длинами образуют стороны треугольника \(\displaystyle ACD{\small .}\)
Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Из трёх возможных проявлений неравенства треугольника выберем одно.
Длина стороны \(\displaystyle CD\) треугольника \(\displaystyle ACD\) должна быть меньше суммы длин его сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AD{\text :}\)
\(\displaystyle 2m<a+b{\small .}\)
Тогда, разделив обе его части на два, получим нужное нам неравенство:
\(\displaystyle m<\frac{a+b}{2}{\small .}\)
Теперь можно заполнить оставшиеся пропуски.
| Ответ: |  |