Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Неравенство треугольника

Задание

Четыре точки плоскости \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}C\) и \(\displaystyle D{\small ,}\) из которых никакие три не принадлежат одной прямой, соединены шестью отрезками.

На рисунке указаны обозначения точек и длин отрезков.

Дано несколько неравенств, являющихся следствиями правила треугольника, выписанного для некоторых из образовавшихся треугольников.

Расставьте верные знаки и сопоставьте неравенствам треугольники, которые следует использовать для их обоснования. Если для обоснования неравенства используются несколько треугольников, укажите все.

НеравенстваТреугольники
\(\displaystyle s+r\)\(\displaystyle v\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle q-p\)\(\displaystyle v\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle u+v\)\(\displaystyle s+2p+q\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle p+r-2q\)\(\displaystyle u+v\) Перетащите сюда правильный ответ

 

Решение

Последовательно рассмотрим выражения в обеих частях каждого неравенства. Длины отрезков, которые в них используются, являются сторонами некоторого треугольника или треугольников рисунка.

Для таких треугольников каждый раз будем выписывать неравенства треугольника и с их помощью определяться со знаком неравенства.

1. \(\displaystyle ~~~s+r>v{\small .}\)

2. \(\displaystyle ~~~ q - p < v {\small .} \)

Длины отрезков в частях второго неравенства \(\displaystyle -\) длины сторон треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Чтобы обоснованно выбрать знак неравенства, достаточно рассмотреть неравенство треугольника для стороны \(\displaystyle q{\text :}\)

\(\displaystyle q<p+v{\small .}\)

В этом неравенстве переносим слагаемое \(\displaystyle p\) из правой части в левую и получаем искомое неравенство:

\(\displaystyle q - p < v {\small .} \)

3. \(\displaystyle ~~~ u+v < s+2p+q {\small .} \)

Длины отрезков в частях третьего неравенства \(\displaystyle -\) длины сторон треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD{\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) выберем неравенство для стороны \(\displaystyle v{\text :}\)

\(\displaystyle v<p+q{\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle ABD\) выберем неравенство для стороны \(\displaystyle u{\text :}\)

\(\displaystyle u<s+p{\small .}\)

Почленно сложим эти неравенства, пользуясь тем, что знак неравенства одинаковый. В левой части образуется сумма левых частей исходных неравенств, а в правой \(\displaystyle -\) правых:

\(\displaystyle u+v<s+2p+q{\small .}\)

Получили искомое неравенство.

4. \(\displaystyle ~~~ p+r - 2q < u+v {\small .} \)

Ответ: