Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 13 Поворот на координатной плоскости (короткая версия)

Задание

На рисунке изображены отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle A_1B_1\small.\)

Найдите точку \(\displaystyle O\) – центр поворота, который переводит отрезок \(\displaystyle AB\) в отрезок \(\displaystyle A_1B_1\small.\) (При этом поворот должен переводить \(\displaystyle A\) в \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle B_1\small.\))

Укажите координаты точки \(\displaystyle O{\small:}\)

\(\displaystyle \big(\)
3
\(\displaystyle ;\,\)
5
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Поворот плоскости

Если при повороте относительно \(\displaystyle O\) точка \(\displaystyle X\) переходит в \(\displaystyle X_1\small,\) то

\(\displaystyle OX=OX_1\small.\)

То есть \(\displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(\displaystyle XX_1\small.\)
 

Значит, если при повороте

  • \(\displaystyle A\) переходит в \(\displaystyle A_1\small,\)
  • \(\displaystyle B\) переходит в \(\displaystyle B_1\small,\)

то центр поворота лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам \(\displaystyle AA_1\) и \(\displaystyle BB_1\small.\)
 

Построим серединные перпендикуляры к отрезкам \(\displaystyle AA_1\) и \(\displaystyle BB_1{\small.}\)

Синяя прямая – серединный перпендикуляр к отрезку \(\displaystyle BB_1\small.\)

Красная прямая – серединный перпендикуляр к отрезку \(\displaystyle AA_1\small.\)

Тогда центром поворота, переводящим \(\displaystyle AB\) в отрезок \(\displaystyle A_1B_1\small,\) может быть только точка с координатами \(\displaystyle (3;\,5)\small.\)


Отметим, что поворот на \(\displaystyle 90^{\circ}\) против часовой стрелки относительно точки \(\displaystyle O(3;\,5)\) переводит  \(\displaystyle AB\) в \(\displaystyle A_1B_1\small.\)


Ответ: \(\displaystyle (3;\,5)\)