В исходном треугольнике \(\displaystyle BH\) является высотой. Значит, угол \(\displaystyle AHO\) прямой, а треугольник \(\displaystyle AHO\) прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике каждый катет короче гипотенузы.

Значит, \(\displaystyle HO<AO\)

Сумма величин углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

Вычислим, пользуясь этим, величину третьего угла треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

\(\displaystyle \angle ACB=180\degree -\angle BAC-\angle ABC=180\degree -48\degree -84\degree =48\degree {\small .}\)

Замечаем, что величины углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) треугольника \(\displaystyle ABC\) равны.

Если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны треугольника равны.

Значит, \(\displaystyle AB=BC{\small .}\)

В равнобедренном треугольнике проведённые к основанию высота, биссектриса и медиана совпадают.

То есть отрезок \(\displaystyle BH\) является не только высотой, но и медианой треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle AH=CH{\small .}\) 

Для сравнения отрезков \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle CH\) рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle BCH{\small ,}\) в котором они являются сторонами.

Сравним величины углов, расположенных напротив этих сторон.

Величина одного из них нами найдена: \(\displaystyle \angle BCH=48\degree {\small .}\)

Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle CBH=90\degree -\angle BCH=90\degree -48\degree =42\degree {\small .}\) 

В треугольнике напротив большего угла расположена большая сторона.

Установлено: \(\displaystyle \angle BCH>\angle CBH{\small .}\) Это неравенство переносится на противолежащие углам стороны треугольника \(\displaystyle BCH{\text :}\)

\(\displaystyle BH>CH{\small .}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BDO{\small ,}\) в котором сравниваемые отрезки являются сторонами.

Величина угла при вершине \(\displaystyle B\) этого треугольника вычислена ранее: \(\displaystyle \angle DBO=42\degree {\small .}\)

Но нужным нам сторонам противолежат другие его углы: \(\displaystyle BOD\) и \(\displaystyle BDO{\small .}\) Найдём их величины.
 

Величину угла \(\displaystyle BDO\) получим из треугольника \(\displaystyle ABD{\small .}\)

Угол \(\displaystyle BAD\) равен половине угла \(\displaystyle BAH{\small ,}\) так как \(\displaystyle AD~-\) биссектриса угла \(\displaystyle BAH{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BAD=\frac{\angle BAH}{2}=\frac{48\degree }{2}=24\degree {\small .}\)

Величина угла \(\displaystyle ABD\) задана в условии.

Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle \angle BDO=\angle ADB=180\degree -\angle BAD-\angle ABD=180\degree -24\degree -84\degree =72\degree {\small .}\)
 

Чтобы найти угол \(\displaystyle BOD{ \small ,}\) также воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, на этот раз в треугольнике \(\displaystyle BDO{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BOD=180\degree -\angle BDO-\angle DBO=180\degree -72\degree -42\degree =66\degree {\small .}\)

Величины углов, нужных для сравнения, вычислены и выполнено:

\(\displaystyle \angle BDO>\angle BOD{\small .}\)

В треугольнике против большего угла расположена большая сторона.

Значит, \(\displaystyle BO>BD{\small .}\)