Сторона \(\displaystyle AB\) самая длинная в треугольнике \(\displaystyle ABC{\small .}\) На двух других сторонах отмечены точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N{\small .}\)
Через \(\displaystyle \alpha{\small ,\;}\beta\) и \(\displaystyle \gamma\) обозначены углы соответственно при вершинах \(\displaystyle A{\small ,\;}B\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
Для доказательства неравенства \(\displaystyle MN<AB\) (одним из возможных способов) провели отрезок \(\displaystyle BM{\small .}\)
Заполните пропуски в этом доказательстве.
\(\displaystyle 1{\small .}\) По теореме о соотношении сторон и углов треугольника выполнены неравенства:
\(\displaystyle \gamma\)\(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \gamma\)\(\displaystyle \beta\)
\(\displaystyle 2{\small .}\) Угол
\(\displaystyle \angle BNM\)\(\displaystyle \gamma\)
\(\displaystyle 3{\small .}\) Поскольку угол
\(\displaystyle \angle MBN\)\(\displaystyle \beta\)
\(\displaystyle 4{\small .}\) По теореме о соотношении сторон и углов в треугольнике
\(\displaystyle BM\)\(\displaystyle MN\)
\(\displaystyle 5{\small .}\) Угол
\(\displaystyle \angle AMB\)\(\displaystyle \gamma\)
\(\displaystyle 6{\small .}\) По теореме о соотношении сторон и углов в треугольнике
\(\displaystyle BM\)\(\displaystyle AB\)
\(\displaystyle 7{\small .}\) Отрезок \(\displaystyle AB\) длиннее отрезка \(\displaystyle BM{\small ,}\) который, в свою очередь, длиннее отрезка \(\displaystyle MN{\small .}\) Значит,
\(\displaystyle MN<AB\)
По пунктам восстановим ход рассуждений в доказательстве. Последовательно заполним пропуски в соответствующих пунктах.
В треугольнике \(\displaystyle ABC\) по условию самой длинной стороной является отрезок \(\displaystyle AB{\small .}\)
В треугольнике напротив большей стороны располагается больший угол.
Значит, величина угла при вершине \(\displaystyle C\) не меньше величин двух других углов треугольника:
\(\displaystyle \gamma\geqslant\alpha\) и \(\displaystyle \gamma\geqslant\beta{\small .}\)
Угол \(\displaystyle BNM\) является внешним для треугольника \(\displaystyle CMN{\small .}\)
Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух несмежных с ним углов треугольника.
Поскольку сумма положительных слагаемых больше каждого из них, угол \(\displaystyle BNM\) имеет большую величину, чем угол \(\displaystyle ACB{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BNM>\gamma{\small .}\)
Угол \(\displaystyle MBN\) является частью угла \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Величина части угла меньше величины самого угла. Значит,
\(\displaystyle \angle MBN<\angle ABC=\beta{\small .}\)
В треугольнике \(\displaystyle BMN\) оценены два угла:
\(\displaystyle \angle BNM>\gamma\) и \(\displaystyle \angle MBN<\beta{\small .}\)
Применяя установленное в первом пункте неравенство \(\displaystyle \gamma\geqslant\beta{\small ,}\) сравниваем стороны, противолежащие этим углам:
\(\displaystyle \angle BNM>\gamma\geqslant\beta>\angle MBN{\small .}\)
Получили, что \(\displaystyle \angle BNM>\angle MBN{\small .}\)
В треугольнике напротив большего угла располагается большая сторона.
Значит,
\(\displaystyle BM>MN{\small .}\)
Угол \(\displaystyle AMB\) является внешним для треугольника \(\displaystyle BCM{\small .}\)
Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух несмежных с ним углов треугольника.
Поскольку сумма положительных слагаемых больше каждого из них, угол \(\displaystyle AMB\) имеет большую величину, чем угол \(\displaystyle ACB{\text :}\)
\(\displaystyle \angle AMB>\gamma{\small .}\)
Используем неравенство предыдущего пункта и установленное в первом пункте неравенство \(\displaystyle \gamma\geqslant\alpha{\small ,\;}\) чтобы сравнить два угла треугольника \(\displaystyle ABM{\text :}\)
\(\displaystyle \angle AMB>\gamma\geqslant\alpha=\angle BAM{\small .}\)
Получили, что \(\displaystyle \angle BAM<\angle AMB{\small .}\)
В треугольнике напротив большего угла располагается большая сторона.
Значит,
\(\displaystyle BM<AB{\small .}\)
Сравним длины отрезков \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AB{\small ,}\) используя полученные ранее неравенства. Отрезок \(\displaystyle MN\) короче отрезка \(\displaystyle BM{\small ,}\) который, в свою очередь, короче отрезка \(\displaystyle AB{\text :}\)
\(\displaystyle MN<BM<AB{\small .}\)
Получили, что
\(\displaystyle MN<AB{\small .}\)
| Ответ: |  |