Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Применение соотношения между сторонами и углами в треугольнике (короткая версия)

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведена биссектриса \(\displaystyle AL{\small .}\) Величины углов при вершинах исходного треугольника обозначим через \(\displaystyle \alpha{\small ,\;}\beta\) и \(\displaystyle \gamma{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BAC=\alpha{\small ,\;}\angle ABC=\beta{\small ,\;}\angle ACB=\gamma{\small .}\)

Как правильно выразить в этих обозначениях величину угла \(\displaystyle ALB{\small ,\;}\) чтобы сравнить длины отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BL{\text ?}\) 

\(\displaystyle \angle ALB=\)\(\displaystyle ~~{\LARGE\Rightarrow}~~\angle ALB\)\(\displaystyle ~~{\LARGE\Rightarrow}~~AB\)\(\displaystyle BL\)

Решение

1. Для того чтобы выразить величину угла \(\displaystyle ALB\) через величины углов треугольника, воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника.

Угол \(\displaystyle ALB\) является внешним углом треугольника \(\displaystyle ACL{\small .}\)

Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника.

Значит,

\(\displaystyle \angle ALB=\angle ACL+\angle CAL{\small .}\)

В этом выражении

  • величина угла \(\displaystyle ACL\) равна \(\displaystyle \gamma{\small ,}\) так как он является углом не только треугольника \(\displaystyle ACL\), но и треугольника \(\displaystyle ABC{\text ;}\)
  • величина угла \(\displaystyle CAL\) равна половине величины угла \(\displaystyle BAC{\small ,}\) так как \(\displaystyle AL~-\) биссектриса угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)

Подставляя обозначения для величин заданных условием углов, получаем:

\(\displaystyle \angle ALB=\gamma+\frac{\alpha}{2}{\small .}\)

2. Для сравнения длин сторон \(\displaystyle AB \) и \(\displaystyle BL \) треугольника \(\displaystyle ABL\) достаточно сравнить величины противолежащих им углов.

Сравниваемым отрезкам в треугольнике \(\displaystyle ABL\) противолежат углы \(\displaystyle ALB\) и \(\displaystyle BAL{\small .}\)

Величины этих углов выражены через величины углов исходного треугольника:

\(\displaystyle \angle ALB=\gamma+\frac{\alpha}{2}\)      и      \(\displaystyle \angle BAL=\frac{\alpha}{2{\small .}}\)

Таким образом, величина угла \(\displaystyle ALB\) на величину \(\displaystyle \gamma\) больше величины угла \(\displaystyle BAL{\small .}\)

В треугольнике напротив большего угла располагается большая сторона.

Значит, \(\displaystyle AB>BL{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle ALB=\gamma+\frac{\alpha}{2}~~{\LARGE\Rightarrow}~~\angle ALB>\angle BAL~~{\LARGE\Rightarrow}~~AB>BL{\small .}\)