Рассмотрим произвольную четырёхзвенную замкнутую ломаную. Если удалить одно из её звеньев, то получится незамкнутая трёхзвенная ломаная, а расстояние между её концами будет равно длине удалённого звена.
Воспользуемся неравенством для длины ломаной, чтобы проверить, в каких из предложенных вариантов такие действия допустимы.
неравенство для длины ломанойСумма длин всех звеньев незамкнутой ломаной (длина ломаной) больше расстояния между её концами.
На рисунке ломаная состоит из пяти звеньев, длины которых обозначены через \(\displaystyle a_1{\small ,\;}a_2{\small ,\;}a_3{\small ,\;}a_4\) и \(\displaystyle a_5{\small .}\) Расстояние между концами ломаной обозначено буквой \(\displaystyle d{\small .}\) Для суммы длин звеньев \(\displaystyle -\) длины ломаной \(\displaystyle -\)можно ввести обозначение \(\displaystyle l{\small .}\) Это позволяет выписать утверждение в виде неравенства:
\(\displaystyle l>d{\small ,}\)
или, расписывая длину ломаной,
\(\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5>d{\small .}\)
Это неравенство можно рассматривать и как обобщение правила треугольника, и как его следствие.
Последовательно переберём предложенные варианты ломаных.
- Про каждый предположим, что ломаная замкнута.
- Удалим самое длинное звено.
- Проверим, выполнено ли неравенство для длины ломаной.
1. Вариант \(\displaystyle a=5{\small ,\;}~~b=5{\small ,\;}~~c=5{\small ,\;}~~d=16\) не соответствует замкнутой ломаной
Если бы ломаная была замкнутой, то при удалении самого длинного звена расстояние между концами оставшейся ломаной было бы равно \(\displaystyle 16{\small .}\)
При этом длина ломаной составила бы \(\displaystyle 5+5+5=15{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной не выполнено: \(\displaystyle 16>15{\small .}\)
2. Вариант \(\displaystyle a=4{\small ,\;}~~b=4{\small ,\;}~~c=4{\small ,\;}~~d=12\) не соответствует замкнутой ломаной
Если бы ломаная была замкнутой, то при удалении самого длинного звена расстояние между концами оставшейся ломаной было бы равно \(\displaystyle 12{\small .}\)
При этом длина ломаной составила бы \(\displaystyle 4+4+4=12{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной не выполнено: \(\displaystyle 12=12{\small .}\)
3. Вариант \(\displaystyle a=4{\small ,\;}~~b=5{\small ,\;}~~c=7{\small ,\;}~~d=17\) не соответствует замкнутой ломаной
Если бы ломаная была замкнутой, то при удалении самого длинного звена расстояние между концами оставшейся ломаной было бы равно \(\displaystyle 17{\small .}\)
При этом длина ломаной составила бы \(\displaystyle 4+5+7=16{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной не выполнено: \(\displaystyle 17>16{\small .}\)
4. Вариант \(\displaystyle a=2{\small ,\;}~~b=4{\small ,\;}~~c=6{\small ,\;}~~d=13\) не соответствует замкнутой ломаной
Если бы ломаная была замкнутой, то при удалении самого длинного звена расстояние между концами оставшейся ломаной было бы равно \(\displaystyle 13{\small .}\)
При этом длина ломаной составила бы \(\displaystyle 2+4+6=12{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной не выполнено: \(\displaystyle 16>12{\small .}\)
5. Не исключено, что вариант \(\displaystyle a=5{\small ,\;}~~b=5{\small ,\;}~~c=5{\small ,\;}~~d=14\) соответствует замкнутой ломаной
При удалении самого длинного звена должна остаться ломаная с расстоянием между концами равным \(\displaystyle 14{\small .}\)
При этом её длина составит \(\displaystyle 5+5+5=15{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной выполнено: \(\displaystyle 14<15{\small .}\)
6. Не исключено, что вариант \(\displaystyle a=5{\small ,\;}~~b=7{\small ,\;}~~c=12{\small ,\;}~~d=19\) соответствует замкнутой ломаной
При удалении самого длинного звена должна остаться ломаная с расстоянием между концами равным \(\displaystyle 19{\small .}\)
При этом её длина составит \(\displaystyle 5+7+12=24{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной выполнено: \(\displaystyle 19<24{\small .}\)
7. Не исключено, что вариант \(\displaystyle a=7{\small ,\;}~~b=8{\small ,\;}~~c=25{\small ,\;}~~d=28\) соответствует замкнутой ломаной
При удалении самого длинного звена должна остаться ломаная с расстоянием между концами равным \(\displaystyle 28{\small .}\)
При этом её длина составит \(\displaystyle 7+8+25=40{\small .}\)
Неравенство для длины ломаной выполнено: \(\displaystyle 28<40{\small .}\)
Мы не смогли исключить замкнутость ломаной для трёх из предложенных комбинаций длин. А по условию задачи ровно три из измеренных ломаных являются замкнутыми.
Значит, все три правильных варианта установлены.
Ответ: замкнутыми являются ломаные со следующими наборами измерений:
\(\displaystyle a=5{\small ,\;}~~b=5{\small ,\;}~~c=5{\small ,\;}~~d=14{\text ;}\)
\(\displaystyle a=5{\small ,\;}~~b=7{\small ,\;}~~c=12{\small ,\;}~~d=19{\text ;}\)
\(\displaystyle a=7{\small ,\;}~~b=8{\small ,\;}~~c=25{\small ,\;}~~d=28{\small .}\)
