Все звенья незамкнутой ломаной имеют одинаковую длину, равную пятидесяти одному миллиметру.
Расстояние между концами ломаной составляет один метр.
Каково наименьшее число звеньев такой ломаной?
\(\displaystyle n=\)
Переведём данные задачи в общие единицы измерения:
- длина одного звена ломаной \(\displaystyle a=51\,{\footnotesize\it мм\,}{\small ;}\)
- расстояние между концами ломаной \(\displaystyle d=1\cdot 100\cdot 10=1000\,{\footnotesize\it мм}{\small .}\)
Обозначим число звеньев ломаной через \(\displaystyle n{\small .}\)
Тогда длина ломаной выразится в виде:
\(\displaystyle l=n\cdot a=51n{\footnotesize\it ~(мм)}\)
Запишем неравенство для длины ломаной:
\(\displaystyle l>d{\small .}\)
Подставим выражение для длины и известное расстояние между концами ломаной в миллиметрах:
\(\displaystyle 51n>1000{\small .}\)
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle 51{ \small ,}\) чтобы оценить величину \(\displaystyle n{\text :}\)
\(\displaystyle n>19\frac{31}{51}\)
Значит, число звеньев ломаной не может быть меньше \(\displaystyle 20{\small .}\)
Разделим отрезок длиной \(\displaystyle 1\) метр на \(\displaystyle 10\) равных частей. Тогда длина одной части составит \(\displaystyle \frac{1000}{10}=100\) миллиметров. На каждой из образовавшихся частей отрезка как на основании построим равнобедренный треугольник с длиной боковой стороны \(\displaystyle 51\) миллиметр.
Объясним, почему такой треугольник существует.
Для трёх положительных чисел, удовлетворяющих правилу треугольника, существует треугольник, длины сторон которого равны этим числам.
Числа \(\displaystyle 100{\small ,\;}51{\small ,\;}51\) очевидно удовлетворяют правилу треугольника: большее из них меньше суммы двух других. Значит, существует равнобедренный треугольник с основанием \(\displaystyle 100\) миллиметров и боковой стороной \(\displaystyle 51\) миллиметр.
После построения треугольников образовалась ломаная из \(\displaystyle 20\) звеньев одинаковой длины, равной пятидесяти одному миллиметру. Расстояние между концами ломаной составило один метр. Условия задачи соблюдены.
Значит, наименьшее число звеньев ломаной равно двадцати.
Ответ: \(\displaystyle n=20{\small .}\)