Рассмотрим последовательность сторон \(\displaystyle AB{\small ,\;}BC{\small ,\;}CD\) как ломаную \(\displaystyle ABCD{\small .}\) Тогда длина стороны \(\displaystyle AD\) является расстоянием между концами этой ломаной.

По неравенству о длине ломаной, это расстояние меньше длины ломаной, то есть суммы длин её звеньев:

\(\displaystyle AD<AB+BC+CD{\small .}\)

Сумма длин в правой части неравенства по условию равна \(\displaystyle 23+10+11=44{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle AD<44{\small .}\)

Рассмотрим последовательность сторон \(\displaystyle BC{\small ,\;}CD{\small ,\;}AD\) как ломаную \(\displaystyle BCDA{\small .}\) Тогда длина стороны \(\displaystyle AB\) является расстоянием между концами этой ломаной.

По неравенству о длине ломаной это расстояние меньше длины ломаной, то есть суммы длин её звеньев:

\(\displaystyle AB<BC+CD+AD{\small .}\)

Подставляя данные в условии длины, получаем:

\(\displaystyle 23<10+11+AD{\small .}\)

В полученном неравенстве переносим все числа в левую часть и переписываем неравенство справа налево:

\(\displaystyle AD>2{\small .}\)

Рассмотрим процесс построения четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) как построение двух треугольников \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle BCD\) с общей стороной \(\displaystyle BD{\small .}\) Если удастся построить такие треугольники, то четырёхугольник существует.

Длина \(\displaystyle d\) отрезка \(\displaystyle AD\) удовлетворяет полученному в первых пунктах двойному неравенству:

\(\displaystyle 2<d<44{\small .}\)

Покажем, что можно подобрать длину \(\displaystyle x\) отрезка \(\displaystyle BD\) так, чтобы оба треугольника существовали.

Длины двух сторон треугольника \(\displaystyle BCD\) известны. Большей стороной может быть либо отрезок \(\displaystyle CD{ \small ,}\) либо отрезок \(\displaystyle BD{\small .}\) Запишем неравенства для обеих возможностей:

\(\displaystyle 11<x+10\)       и       \(\displaystyle x<10+11{\small .}\)

После преобразований получим условие существования треугольника \(\displaystyle BCD\) в виде двойного неравенства:

\(\displaystyle 1<x<21{\small .}\)

Остаётся показать, что всегда можно подобрать \(\displaystyle x\) из интервала значений от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 21\) так, чтобы существовал треугольник \(\displaystyle ABD{\small .}\)

Поскольку в треугольнике \(\displaystyle ABD \) сторона \(\displaystyle AB \) равна \(\displaystyle 23{ \small ,} \) нужно рассмотреть два случая.
 

\(\displaystyle \color{red}{\bf 1}{\small .}\) \(\displaystyle d\leqslant 23\)

Тогда треугольник \(\displaystyle ABD\) существует при условии \(\displaystyle 23<x+d{\small ,}\) так как \(\displaystyle AB~-\) его большая сторона. Значит, следует подбирать \(\displaystyle x{\small ,}\) удовлетворяющий неравенству \(\displaystyle x>23-d{\small .}\)

Величина \(\displaystyle d\) удовлетворяет условию \(\displaystyle 2<d\leqslant 23{\small .}\) Значит, разность \(\displaystyle 23-d\) меньше числа \(\displaystyle 21{\small .}\)

Поэтому для каждого \(\displaystyle d\) подобрать подходящую величину \(\displaystyle x\) можно: достаточно выбрать \(\displaystyle x\) так, что \(\displaystyle x>1 \) и \(\displaystyle 23-d<x<21{\small .}\) Доступный интервал значений \(\displaystyle x\) это позволяет.
 

\(\displaystyle \color{red}{\bf 2}{\small .}\) \(\displaystyle d>23\)

Тогда треугольник \(\displaystyle ABD\) существует при условии \(\displaystyle d<x+23{\small ,}\) так как \(\displaystyle AD~-\) его большая сторона. Значит, следует подбирать \(\displaystyle x{\small ,}\) удовлетворяющий неравенству \(\displaystyle x>d-23{\small .}\)

Величина \(\displaystyle d\) удовлетворяет условию \(\displaystyle 23<d< 44{\small .}\) Значит, разность \(\displaystyle d-23\) меньше числа \(\displaystyle 21{\small .}\)

Поэтому для каждого \(\displaystyle d\) подобрать подходящую величину \(\displaystyle x\) можно: достаточно выбрать \(\displaystyle x\) так, что \(\displaystyle x>1 \) и \(\displaystyle d-23<x<21{\small .}\) Доступный интервал значений \(\displaystyle x\) это позволяет.