Проведём через центр \(\displaystyle O\) окружности горизонтальную прямую. Она перпендикулярна вертикальным линиям разметки и пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\)
 

У каждой внутренней точки \(\displaystyle P\) диаметра \(\displaystyle AB\) расстояние до центра окружности меньше радиуса. Если вертикальная линия разметки пройдёт через эту точку, то расстояние от неё до центра окружности будет таким же: отрезок \(\displaystyle OP\) будет перпендикуляром к ней.

По правилу взаимного расположения прямой и окружности это значит, что такая линия разметки пересекает окружность в двух точках.

Если линия разметки пройдёт через один из двух концов диаметра (на рисунке через точку \(\displaystyle A\) прошла линия вертикальной разметки), то расстояние от неё до центра окружности будет равно радиусу.

По правилу взаимного расположения прямой и окружности это значит, что такая линия разметки коснётся окружности в одной точке.
 

Получается, что окружность имеет \(\displaystyle 12\) общих точек с вертикальными линиями разметки в двух случаях:

• если \(\displaystyle 6\) внутренних точек горизонтального диаметра принадлежат вертикальным линиям разметки и оба конца диаметра на эти линии не попадают;
• если \(\displaystyle 5\) внутренних точек горизонтального диаметра и оба конца диаметра (всего \(\displaystyle 7\) точек) принадлежат вертикальным линиям разметки.

Оценим длину \(\displaystyle d\) диаметра в двух только что описанных случаях.

В первом случае (шесть внутренних точек пересечения) часть диаметра с концами во внутренних точках отрезка оказывается составленной из пяти единичных отрезков, концы которых попадают на вертикальные линии разметки.

Таким образом, длина самого диаметра строго больше пяти. 

Длины оставшихся двух частей меньше единицы. Значит, длина диаметра меньше, чем \(\displaystyle 5+1+1=7{\small .}\)

Запишем это в виде двойного неравенства:

\(\displaystyle 5<d<7{\small .}\)

Во втором случае (пять внутренних точек пересечения и концы диаметра) это неравенство также выполнено.

Чтобы проверить это, достаточно вычислить длину диаметра как сумму длин шести единичных отрезков:

\(\displaystyle d=6{\small .}\)

Пусть диаметр окружности удовлетворяет условию \(\displaystyle 5<d<7{\small .}\)

Разделим все части неравенства на два, чтобы получить условие для радиуса:

\(\displaystyle 2\frac{1}{2}<r<3\frac{1}{2}\)

Разместим центр \(\displaystyle O\) окружности на горизонтальной линии разметки в середине стороны одной из клеток.

Отложим отрезки длиной \(\displaystyle r\) на горизонтальной прямой по обе стороны от точки \(\displaystyle O{\small .}\)

Учитывая неравенство для радиуса, вправо и влево откладывается больше двух с половиной и меньше трёх с половиной клеток.

Это значит, что на полученном отрезке ровно шесть точек, попадающих на вертикальные линии разметки. И все они \(\displaystyle -\) внутренние точки диаметра.

Согласно первому пункту, окружность имеет ровно \(\displaystyle 12\) общих точек с вертикальными линиями разметки. Условия задачи выполнены.