Если касательная пересекает секущую, проходящую через центр окружности, в точке на окружности, то эти прямые перпендикулярны.
Дополните доказательство этого утверждения от противного, используя обозначения рисунка.
\(\displaystyle 1{\small .}\) Рассмотрим окружность с центром \(\displaystyle O{\small .}\) Пусть через её точку \(\displaystyle P\) проведены содержащая центр окружности секущая \(\displaystyle CD\) и касательная \(\displaystyle AB{\small .}\) Допустим, что они не перпендикулярны, для определённости будем считать острым угол \(\displaystyle APC{\small .}\)
\(\displaystyle 2{\small .}\) Опустим из центра окружности перпендикуляр
\(\displaystyle 3{\small .}\) На луче
\(\displaystyle 5{\small .}\) Отрезки \(\displaystyle OQ\) и
\(\displaystyle 6{\small .}\) Поскольку отрезок
\(\displaystyle 7{\small .}\) Это невозможно, так как эта точка принадлежит касательной, имеющей с окружностью другую общую точку \(\displaystyle P{\small .}\)
Восстановим доказательство по пунктам, последовательно заполняя пропуски.
Первоначально на рисунке есть только две прямые и окружность, свойства которой будут использоваться только после применения признака равенства прямоугольных треугольников.
Поскольку точка \(\displaystyle O\) принадлежит прямой \(\displaystyle CD{\small ,}\) перпендикуляр из неё опускается на другую прямую. Это может быть только прямая \(\displaystyle AB{\small .}\)
Поскольку угол \(\displaystyle APC\) мы считаем острым, перпендикуляр опустится на луч \(\displaystyle PA\) этой прямой.
При этом образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle OP{\small .}\)
Рассматривая рисунок в условии задачи, обнаруживаем, что пара равных прямоугольных треугольников образуется после соединения точки \(\displaystyle O\) с ещё одной точкой прямой \(\displaystyle AB{\small .}\)
Из точки вне прямой можно опустить на неё только один перпендикуляр.
Значит, прямые углы треугольников могут образоваться только при их общей вершине (в основании проведённого перпендикуляра).
Один катет у этих треугольников общий. А катеты, расположенные на прямой \(\displaystyle AB{ \small ,}\) должны быть по разные стороны основания перпендикуляра. Иначе один катет будет частью другого и равенства треугольников не получится.
Значит, основание перпендикуляра \(\displaystyle -\) точка \(\displaystyle H{\small ,}\) а обозначение перпендикуляра \(\displaystyle -\) \(\displaystyle OH{\small .}\) Один из равных треугольников \(\displaystyle -\) треугольник \(\displaystyle HOP{\small .}\)
Чтобы получить второй, следует отложить катет \(\displaystyle HQ\), равный катету \(\displaystyle HP\) на луче \(\displaystyle HA{\small .}\)
Пропуски первых трёх пунктов можно заполнять.
Построения привели к тому, что в треугольниках \(\displaystyle HOQ\) и \(\displaystyle HOP{\text :}\)
- прямые углы при вершине \(\displaystyle H{\text ;}\)
- общий катет \(\displaystyle HO{\text ;}\)
- равные катеты \(\displaystyle HQ\) и \(\displaystyle HP{\small .}\)
Если два прямоугольных треугольника имеют две пары равных катетов, то они равны.
Значит, треугольники \(\displaystyle HOQ\) и \(\displaystyle HOP\) равны по двум катетам.
Гипотенузы \(\displaystyle OP\) и \(\displaystyle OQ\) равных треугольников равны.
Точка \(\displaystyle P\) принадлежит окружности с центром \(\displaystyle O{\small .}\)
Значит, отрезок \(\displaystyle OP~-\) радиус окружности. То есть расстояние от центра окружности до точки \(\displaystyle Q\) равно радиусу:
\(\displaystyle OQ\)\(\displaystyle =OP{\small .}\)
Если расстояние от точки до центра окружности равно её радиусу, то точка принадлежит окружности.
Значит, точка \(\displaystyle Q\) принадлежит окружности с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle OP{\small .}\)
Поскольку прямая \(\displaystyle AB\) имеет две общие точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) с окружностью, она является секущей этой окружности.
Это противоречит условию, в котором она названа касательной.
Доказательство завершено и пропуски последних пунктов можно заполнять.
| Ответ: |  |