Из точки \(\displaystyle O\) на прямую \(\displaystyle p\) опущен перпендикуляр \(\displaystyle OP\) длиной \(\displaystyle 27{\footnotesize\it см}{\small .}\)
Провели шесть окружностей с центром \(\displaystyle O\) и радиусами \(\displaystyle 75{\small ,\;} 100{\small ,\;} 270{\small ,\;} 310{\small ,\;}350\) и \(\displaystyle 370\) миллиметров.
Сколько на прямой \(\displaystyle p\) точек, каждая из которых принадлежит одной из этих окружностей?
\(\displaystyle n=\)
Начнём с перевода данных задачи в общие единицы.
Только длина перпендикуляра задана в сантиметрах. В сантиметре \(\displaystyle 10\) миллиметров. Значит,
\(\displaystyle h=27\cdot10=270{\,\footnotesize\it (мм)}\)
Чтобы выяснить взаимное расположение прямой и окружности, нужно сравнить два числа: радиус окружности и расстояние от её центра до прямой.
Если из центра \(\displaystyle O\) окружности радиуса \(\displaystyle r\) опустить перпендикуляр на прямую, то в зависимости от его длины \(\displaystyle h\) возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности.
\(\displaystyle 1{\small .}\) При \(\displaystyle h<r\) прямая пересекает окружность. | \(\displaystyle 2{\small .}\) При \(\displaystyle h=r\) прямая касается окружности. | \(\displaystyle 3{\small .}\) При \(\displaystyle h>r\) прямая не пересекает окружность. |
 |  |  |
В этом случае прямая является секущей по отношению к окружности и имеет с ней две общие точки. | В этом случае прямая является касательной к окружности и имеет с ней одну общую точку. | В этом случае у прямой и окружности нет общих точек. |
Последовательно переберём окружности. Определяя для каждой соотношение радиуса и длины перпендикуляра, опущенного из центра на прямую, найдём число общих точек прямой и окружности.
| Радиус окружности \(\displaystyle r\) | Соотношение радиуса и длины перпендикуляра \(\displaystyle (h=270\,{\footnotesize\it мм})\) | Число общих точек с прямой |
| \(\displaystyle 75\,{\footnotesize\it мм}\) | \(\displaystyle h>r\) | ни одной |
| \(\displaystyle 100\,{\footnotesize\it мм}\) | \(\displaystyle h>r\) | ни одной |
| \(\displaystyle 270\,{\footnotesize\it мм}\) | \(\displaystyle h=r\) | одна |
| \(\displaystyle 310\,{\footnotesize\it мм}\) | \(\displaystyle h<r\) | две |
| \(\displaystyle 350\,{\footnotesize\it мм}\) | \(\displaystyle h<r\) | две |
| \(\displaystyle 370\,{\footnotesize\it мм}\) | \(\displaystyle h<r\) | две |
Всего насчитываем \(\displaystyle 1+2+2+2=7\) точек прямой, попадающих на какие-либо из рассматриваемых окружностей.
Проиллюстрируем это примерным рисунком.
Ответ: \(\displaystyle 7\) точек.