На рисунке две окружности. Из точки \(\displaystyle O\) выпущены три луча:
- один касается первой окружности в точке \(\displaystyle A{\text ;}\)
- другой касается первой окружности в точке \(\displaystyle B{\small ,}\) а второй окружности \(\displaystyle -\) в точке \(\displaystyle C{\text ;}\)
- третий касается второй окружности в точке \(\displaystyle D{\small .}\)
Точка \(\displaystyle B\) лежит между точками \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
Заполните таблицу возможных значений длин отрезков \(\displaystyle AO{\small ,\;}DO\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
| \(\displaystyle AO\) | \(\displaystyle DO\) | \(\displaystyle BC\) |
| \(\displaystyle 21\) | \(\displaystyle 44\) | |
| \(\displaystyle 32\) | \(\displaystyle 27\) | |
| \(\displaystyle 52\) | \(\displaystyle 27\) | |
| \(\displaystyle m\) | \(\displaystyle n\) |
Используем показанные на рисунке задачи обозначения \(\displaystyle l{\small ,\;}m\) и \(\displaystyle n\) соответственно для длин отрезков \(\displaystyle BC{\small ,\;}DO\) и \(\displaystyle AO{\small .}\)
Через точку \(\displaystyle O\) проведены две пары касательных соответственно к двум окружностям.
Для одной окружности равными являются отрезки касательных \(\displaystyle OC\) и \(\displaystyle OD{\small .}\)
Значит, длина отрезка \(\displaystyle CO\) равна длине отрезка \(\displaystyle DO{\text :}\)
\(\displaystyle CO=DO=n{\small .}\)
Для другой окружности равными являются отрезки касательных \(\displaystyle OA\) и \(\displaystyle OB{\small .}\)
Значит, длина отрезка \(\displaystyle BO\) равна длине отрезка \(\displaystyle AO{\text :}\)
\(\displaystyle BO=AO=m{\small .}\)
Тогда длину \(\displaystyle n\) отрезка \(\displaystyle CO\) можно представить как сумму длин \(\displaystyle l\) и \(\displaystyle m\) его частей \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BO{\text :}\)
\(\displaystyle n=l+m{\small .}\)
Выразим из этого равенства и две другие длины:
\(\displaystyle l=n-m\) и \(\displaystyle m=n-l{\small .}\)
В нижнюю строку просто впишем одно из полученных выражений:
\(\displaystyle l=n-m{\small .}\)
Для заполнения других строк подставим данные таблицы в соответствующие выражения.
Для первой строки:
\(\displaystyle BC=l=n-m=44-21=23{\small .}\)
Для второй строки:
\(\displaystyle DO=n=l+m=27+32=59{\small .}\)
Для третьей строки:
\(\displaystyle AO=m=n-l=52-27=25{\small .}\)
| Ответ: |  |