Окружность касается двух сторон угла с вершиной \(\displaystyle O\) и величиной \(\displaystyle 74\degree \) в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\)
Найдите величину угла при вершине \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle ABO{\small .}\)
\(\displaystyle \angle ABO=\)\(\displaystyle \degree \)
Отрезки проведённых из одной точки к одной окружности касательных, соединяющие эту точку с точками касания, равны.
На рисунке покаазаны два отрезка \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) касательных к одной окружности, проходящих через одну точку \(\displaystyle A{\small .}\)
Чтобы убедиться в их равенстве, можно провести из центра окружности два радиуса \(\displaystyle OB\) и \(\displaystyle OC\) в точки касания. Радиусы равны и образуют прямые углы с касательными (по свойству касательной к окружности). Отрезок \(\displaystyle AO~-\) общая гипотенуза прямоугольных треугольников \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle ACO{\small .}\)
Значит, треугольники равны по катету и гипотенузе, а их другие катеты равны между собой:
\(\displaystyle AB=AC{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ABO\) по свойству отрезков касательных оказывается равнобедренным.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Поэтому \(\displaystyle \angle BAO=\angle ABO{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Запишем это для треугольника \(\displaystyle ABO{\small ,}\) учитывая равенство углов при его основании:
\(\displaystyle 2\cdot \angle ABO+\angle AOB=180\degree {\small .}\)
Выразим из этого равенства величину искомого угла и подставим величину известного:
\(\displaystyle \angle ABO=\frac{180\degree -\angle AOB}{2}=\frac{180\degree -74\degree }{2}=53\degree{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \angle ABO=53\degree {\small .}\)