Окружность касается всех сторон пятиугольника \(\displaystyle ABCDE{\small .}\)
Известны длины четырёх строн:
\(\displaystyle AB=22\,{\footnotesize\it см}{\small ,\;}BC=31\,{\footnotesize\it см}{\small ,\;}CD=29\,{\footnotesize\it см}{\small ,\;}DE=17\,{\footnotesize\it см}{\small .\;}\)
На сколько сантиметров один из отрезков, на которые точка касания делит сторону \(\displaystyle AE{ \small ,}\) длиннее другого?
\(\displaystyle AT-ET=\)\(\displaystyle {\footnotesize\it см}\)
Обозначим точки касания сторон пятиугольника и окружности буквами \(\displaystyle P{\small ,\;}Q{\small ,\;}R\) и \(\displaystyle S{\small .}\)
Отрезки проведённых из одной точки к одной окружности касательных, соединяющие эту точку с точками касания, равны.
Поэтому равны отрезки смежных сторон пятиугольника, соединяющие их общую вершину с точками касания.
Стороны пятиугольника точками касания разделились на \(\displaystyle 10\) частей, которые образуют пять пар равных отрезков. При этом каждая пара имеет общий конец \(\displaystyle -\) вершину пятиугольника.
Значит, мы сможем выражать длину части неизвестной стороны через известную длину смежной стороны и длину её второй части.
Так, например, в искомой разности \(\displaystyle AT-ET\) вычитаемое \(\displaystyle ET\) выражается через длину \(\displaystyle DS{\small .}\)
\(\displaystyle ET=SE=DE-DS=17-DS{\small .}\)
Тогда сама искомая разность представляется в виде:
\(\displaystyle \color{#009900}{AT}-\color{#ff6600}{ET}=AT-(DE-\color{#660099}{DS})=AT-17+\color{#660099}{DS}{\small .}\)
В выражении для искомой разности мы заменили отрезок \(\displaystyle ET\) стороны \(\displaystyle AE\) на отрезок стороны \(\displaystyle DE{\small .}\)
Продолжая двигаться по часовой стрелке, будем переходить со стороны на сторону, пока не дойдём до отрезка \(\displaystyle AP\) стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)
Длина этого отрезка равна уменьшаемому \(\displaystyle AT\) искомой разности.
Так мы решим задачу, выразив вычитаемое через уменьшаемое.
Перейдём от части стороны \(\displaystyle DE\) к части стороны \(\displaystyle CD{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle CD=29{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle \color{#009900}{AT}-17+\color{#660099}{DS}=\color{#009900}{AT}-17+(DC-\color{#006699}{CR})=\color{#009900}{AT}+12-\color{#006699}{CR}{\small .}\)
Перейдём от части стороны \(\displaystyle CD\) к части стороны \(\displaystyle BC{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle BC=31{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle \color{#009900}{AT}+12-\color{#006699}{CR}=\color{#009900}{AT}+12-(BC-\color{#dc143c}{BQ})=\color{#009900}{AT}-19+\color{#dc143c}{BQ}{\small .}\)
Перейдём от части стороны \(\displaystyle BC\) к части стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle AB=22{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle \color{#009900}{AT}-19+\color{#dc143c}{BQ}=\color{#009900}{AT}-19+(AB-\color{#009900}{AP})=3{\small .}\)
Выписывая сделанную последовательность подстановок, в итоге получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned} AT-ET&=AT-17+DS=\\[5px]&\kern{3em} =AT+12-CR=\\[5px]&\kern{6em} =AT-19+BQ=\\[5px]&\kern{9em} =AT-19+22-AP=3{\small .}\end{aligned}\)
Ответ: отрезок \(\displaystyle AT\) на \(\displaystyle 3\) сантиметра длиннее отрезка \(\displaystyle ET{\small .}\)