\(\displaystyle \angle APC\) – это угол между пересекающимися хордами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\)
угол между пересекающимися хордами| Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме противоположных дуг, высекаемых этими хордами. |  |
 | Значит, \(\displaystyle \angle APC=\frac{{\small \smile}AC+{\small \smile}BD}{2}{\small.}\) |
Определим градусные меры дуг \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small.}\)
 | Проведём радиусы окружности \(\displaystyle OD\) и \(\displaystyle OC{\small.}\) По рисунку видим \(\displaystyle OD=2{\small.}\) Значит, \(\displaystyle OC=2{\small.}\) |
\(\displaystyle {\small \smile}AC=\angle AOC{\small;}\)
\(\displaystyle {\small \smile}BD=\angle BOD{\small.}\)
Информация | Если дуга \(\displaystyle MN\) окружности с центром \(\displaystyle O\) меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle MON{\small,}\) то есть \(\displaystyle {\small \smile}MLN=\angle MON{\small.}\) |
 | Если дуга \(\displaystyle MN\) больше полуокружности, то её градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle MON{\small,}\) то есть \(\displaystyle {\small \smile}MPN=360^{\circ}-\angle MON{\small.}\) |
Дуги \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) меньше полуокружности. Значит,
\(\displaystyle {\small \smile}AC=\angle AOC{\small;}\)
\(\displaystyle {\small \smile}BD=\angle BOD{\small.}\)
\(\displaystyle \angle AOC=75^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \angle BOD=45^{\circ}{\small.}\)
Выполним дополнительное построение.
 | \(\displaystyle \color{red}{1)}\) По линии квадратной решётки проведём радиус \(\displaystyle OE\) так, что: - \(\displaystyle ED\) – диаметр;
- \(\displaystyle \angle AOC=\angle AOE+\angle EOC{\small.}\)
|
 | \(\displaystyle \color{red}{2)}\) По линиям квадратной решётки на радиусе \(\displaystyle OC\) как на гипотенузе построим прямоугольный треугольник \(\displaystyle COH{\small:}\) - \(\displaystyle \angle CHO=90^{\circ}{\small;}\)
- \(\displaystyle OC=2\) – гипотенуза ;
- \(\displaystyle OH=1\) – катет.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы. Так как катет \(\displaystyle OH\) равен половине гипотенузы \(\displaystyle OC{\small,}\) то \(\displaystyle \angle HCO=30^{\circ}{\small.}\) |
Найдем градусные меры углов \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle BOD{\small.}\)
 | Заметим: - \(\displaystyle \angle EOC=\angle HCO=30^{\circ}\) – накрест лежащие при параллельных прямых \(\displaystyle EO\) и \(\displaystyle CH\) и секущей \(\displaystyle OC{\small.}\)
- \(\displaystyle \angle AOE\) и \(\displaystyle \angle BOD\) совпадают с углами между стороной и диагональю квадрата сетки.
Диагональ квадрата составляет с его стороной угол \(\displaystyle 45^{\circ}{\small,}\) значит, \(\displaystyle \angle AOE= \angle BOD=45^{\circ}{\small.}\) |
В результате получаем:
\(\displaystyle \angle AOC=\angle AOE+\angle EOC=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \angle BOD=45^{\circ}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle {\small \smile}AC=75^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BD=45^{\circ}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \angle APC=\frac{{\small \smile}AC+{\small \smile}BD}{2}=\frac{75^{\circ}+45^{\circ}}{2}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle APC=60^{\circ}{\small.}\)
