Отметим, что \(\displaystyle 3y_0\equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) \(\displaystyle 8\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)

Значит, \(\displaystyle x_0\) должно удовлетворять условию \(\displaystyle 2x_0\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)

Проверим, каким может быть остаток от деления \(\displaystyle x_0\) на \(\displaystyle 3\small.\)

Рассмотрим варианты \(\displaystyle x_0\equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) \(\displaystyle x_0\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) \(\displaystyle x_0\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)

• Если \(\displaystyle x_0\equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 2x_0\equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) и условие не выполняется.
• Если \(\displaystyle x_0\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 2x_0\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) и условие может выполняться.
• Если \(\displaystyle x_0\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 2x_0\equiv 4 \hspace{-2mm}\pmod 3\small;\) так как \(\displaystyle 4\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 2x_0\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) и условие не выполняется.

Таким образом, условие может выполняться лишь при \(\displaystyle x_0\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то есть когда остаток от деления \(\displaystyle x_0\) на \(\displaystyle 3\) равен \(\displaystyle 1\small.\)

Следовательно, остаток от деления \(\displaystyle x_0\) на \(\displaystyle 3\) равен \(\displaystyle 1\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 1\small.\)