Отметим, что числа \(\displaystyle 2x\) и \(\displaystyle 8\)– четные.

Тогда

\(\displaystyle 3y=8 -2x \small.\)

Следовательно, число \(\displaystyle 3y\) четно как разность четных чисел.

Если бы \(\displaystyle y\) было нечетно, то \(\displaystyle 3y \) было бы нечетно. Это значит, что \(\displaystyle y\) четно.

Значит, \(\displaystyle y=2k\small,\) где \(\displaystyle k\)– целое число.

Подставим это выражение в исходное уравнение

\(\displaystyle 2x+3y=8\small. \)

Получим

\(\displaystyle 2x+3\cdot 2k=8\small, \)

\(\displaystyle 2x+6k=8\small, \)

\(\displaystyle 2x=-6k+8\small, \)

\(\displaystyle x=-3k+4\small. \)

Таким образом, целочисленные решения уравнения можно представить в виде 

\(\displaystyle x=-3k+4, \ y=2k\small.\)

Ответ: \(\displaystyle x=-3k+4, \ y=2k\small,\) где \(\displaystyle k\)– целое число.