Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Произведение неравенств

Задание

Для положительных чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) известно, что \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\) Сравните:

\(\displaystyle a\)\(\displaystyle b\)

Решение

Рассмотрим все возможные варианты:

  • \(\displaystyle a<b {\small ,}\)
  • \(\displaystyle a=b{\small ,}\)
  • \(\displaystyle a>b{\small .}\)

Имеем:

  • Если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то, применяя правило произведения неравенств к \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}{\small ,}\) получаем, что \(\displaystyle \color{blue}{a}\cdot \color{blue}{a}<\color{green}{b} \cdot \color{green}{b}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle a=b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}=b^{\,2}{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle b<a{\small ,}\) то применяя правило произведения неравенства к \(\displaystyle \color{blue}{b}<\color{green}{a}\) и \(\displaystyle \color{blue}{b}<\color{green}{a}{\small ,}\) получаем, что \(\displaystyle \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}<\color{green}{a} \cdot \color{green}{a}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle b^{\,2}<a^{\,2}{\small .}\) 

Таким образом, возможен только один случай, а именно 

\(\displaystyle a<b{\small .}\) 

Ответ: \(\displaystyle a<b{\small .}\)


Замечание / комментарий
Решим задачу другим способом.

Известно, что \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\) Перенесем \(\displaystyle b^{\,2} \) влево:

\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}<0{\small .}\)

Разложим получившееся слева выражение по формуле разности квадратов:

\(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0{\small .}\)

Поскольку по условию \(\displaystyle a>0 \) и \(\displaystyle b>0{\small , } \) то \(\displaystyle a+b>0{\small , } \) то есть \(\displaystyle a+b\)  –  положительное число.

Разделим неравенство \(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0\) на положительное число \(\displaystyle a+b{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle a-b\,<0\)

и, следовательно,  \(\displaystyle a<b{\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle a<b{\small .}\)