Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Произведение неравенств

Задание

Для отрицательных чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) известно, что \(\displaystyle a>b{\small .}\) Сравните:

\(\displaystyle a^{\,2}\)\(\displaystyle b^{\,2}\)

Решение

Правило

Если для положительных чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что

\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small , }\) 

то

\(\displaystyle \color{blue}{a}\cdot \color{blue}{x}<\color{green}{b}\cdot \color{green}{y}{\small . }\)

В общем случае правило произведения неравенств применимо только для неотрицательных чисел.

Так как \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) –  отрицательные числа, то \(\displaystyle -a\) и \(\displaystyle -b\) –  положительные.

Чтобы сравнить положительные числа \(\displaystyle -a\) и \(\displaystyle -b{\small ,}\) умножим неравенство  \(\displaystyle a>b\) на \(\displaystyle -1{\small .}\) Получаем:

 \(\displaystyle -a<-b{\small .}\)

Теперь, поскольку \(\displaystyle -a\) и \(\displaystyle -b\) положительны, можно применить правило произведения неравенств к \(\displaystyle \color{blue}{-a}<\color{green}{-b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{-a}<\color{green}{-b}{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{-a} \cdot (\color{blue}{-a}\,)<\color{green}{-b} \cdot (\color{green}{-b}\,){\small ,}\)

то есть

\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)


Замечание / комментарий
Решим задачу другим способом.

Сначала заметим, что поскольку по условию \(\displaystyle a<0 \) и \(\displaystyle b<0{\small , } \) то \(\displaystyle a+b<0{\small , } \) то есть  \(\displaystyle a+b\) –  отрицательное число.

Далее, так как \(\displaystyle a>b{\small , } \) то \(\displaystyle a-b>0{\small . } \)

Умножим неравенство \(\displaystyle a-b>0 \) на отрицательное число \(\displaystyle a+b\) (в этом случае знак неравенства изменится на противоположный). Получаем:

\(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0{\small . } \)

Раскрывая скобки по формуле разности квадратов, получаем, что

\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}<0{\small , } \)

то есть

\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)