Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Произведение неравенств

Задание

Для отрицательных чисел \(\displaystyle a,\, b,\, x,\, y\) верно, что

\(\displaystyle 4b<3a\) и \(\displaystyle 7x>5y{\small . }\)

Сравните:

\(\displaystyle 21ax\)\(\displaystyle 20by\)

Решение

Правило

Если для положительных чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что

\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small , }\) 

то

\(\displaystyle \color{blue}{a}\cdot \color{blue}{x}<\color{green}{b}\cdot \color{green}{y}{\small . }\)

В общем случае правило произведения неравенств применимо только для неотрицательных чисел.

Так как \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) –  отрицательны, то \(\displaystyle -a{\small , }\, -b {\small , }\) а также \(\displaystyle -3a\) и \(\displaystyle -4b\) –  положительны.

Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) –  отрицательны, то \(\displaystyle -x{\small , }\, -y\), а также \(\displaystyle -7x\) и \(\displaystyle -5y\) –  положительны.

Умножив неравенство \(\displaystyle 4b<3a\) на отрицательное число \(\displaystyle -1{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle -4b>-3a {\small .}\)

Умножив неравенство \(\displaystyle 7x>5y\) на отрицательное число \(\displaystyle -1{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle -7x<-5y {\small .}\)

Применяя правило произведения неравенств для положительных чисел \(\displaystyle -3a,\, -4b,\, -7x,\, -5y\) и неравенств

\(\displaystyle \color{blue}{-3a}<\color{green}{-4b}\)

\(\displaystyle \color{blue}{-7x}<\color{green}{-5y}{\small ,}\)

получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{(-3a\,)} \cdot \color{blue}{(-7x\,)} <\color{green}{(-4b\,)} \cdot \color{green}{(-5y\,)}{\small ,}\)

и, следовательно,

\(\displaystyle 21ax<20by{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 21ax<20by{\small .}\)