Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость

Задание

Решите задачу:

Если станок изготавливает по \(\displaystyle 42\) детали в час, то для выполнения заказа потребуется \(\displaystyle x\) часов,

а если он будет изготавливать по \(\displaystyle 21\) деталь в час, то для выполнения того же заказа потребуется \(\displaystyle 16\) часов.

 

\(\displaystyle x=\) часов (- , -а)

Решение

Первый способ

Запишем условие задачи в виде таблицы:
 

 Число деталей в час Время работы станка
Первая работа\(\displaystyle \color{red}{ \Big\uparrow}\)\(\displaystyle 42 \)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle \color{red}{ \Big\downarrow}\)
Вторая работа\(\displaystyle 21\)\(\displaystyle 16\)

 

Число деталей в заказе не меняется, поэтому при увеличении производительности станка (числа деталей в час) в несколько раз время работы станка уменьшится в такое же количество раз.

Значит, зависимость между производительностью станка и затраченным временем является обратно пропорциональной.

Запишем пропорцию: 

\(\displaystyle \frac{42}{21}=\frac{16}{x}\small.\)

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

 \(\displaystyle 42\cdot x=21\cdot 16\).

Значит,

\(\displaystyle x= \frac{ 21\cdot 16}{ 42 }=8{\small .} \)

 

Ответ: \(\displaystyle x=8\) часов.
 

Второй способ

В нашем случае имеем соотношение:

\(\displaystyle a=42\) деталь в час             \(\displaystyle b=x\) часов,

\(\displaystyle c=21\) деталей в час             \(\displaystyle d=16\) часов.

Здесь соотносятся величины: производительность станка (число деталей в час) и время, затраченное на выполнение работы с одинаковым числом деталей в заказе.

Данное соотношение является обратной пропорциональной зависимостью, так как число деталей в заказе величина неизменяемая (постоянная) и равна произведению производительности станка на время, затраченное на выполнение работы.

Воспользуемся правилом.

Правило

Обратная пропорциональная зависимость

Пусть дана обратная пропорциональная зависимость:

\(\displaystyle a\) соответствует \(\displaystyle b\),

\(\displaystyle c\) соответствует \(\displaystyle d\).

Тогда

\(\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{d}{b}\small.\)

Или, по свойству пропорции,

\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).

Запишем пропорцию: 

\(\displaystyle \frac{42}{21}=\frac{16}{x}\) и \(\displaystyle 42\cdot x=21\cdot 16\).

Значит,

\(\displaystyle \begin{aligned}42\cdot x = 21\cdot 16{\small ,} \\[10px]x= \frac{ 21\cdot 16}{ 42 }=8{\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle x=8\) часов.