Воспользуемся формулой для n-го члена геометрической прогрессии

и запишем \(\displaystyle b_2 \) и \(\displaystyle b_4{\small : } \)

\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q\) и \(\displaystyle b_4= b_1 \cdot q^3{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle b_2=3\) и \(\displaystyle b_4=12{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему уравнений: 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} b_1 \cdot q&=3{ \small ,}\\b_1 \cdot q^3&=12{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим систему методом подстановки.

При \(\displaystyle q=0\) первое уравнение, а, значит, и система, решений не имеет. 

Разделив обе части первого уравнения на \(\displaystyle q\,\cancel{=}\,0{\small,}\) выразим \(\displaystyle b_1\) из первого уравнения: 

\(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q }{\small .} \)

Подставляя полученное выражение вместо \(\displaystyle b_1\) во второе уравнение, получаем:

\(\displaystyle \frac{ 3}{ q } \cdot q^3=12{ \small ,}\)

\(\displaystyle 3q^2=12{ \small ,}\)

\(\displaystyle q^2=4{ \small ,}\)

\(\displaystyle q= 2\) или \(\displaystyle q=-2\small.\)

Так как \(\displaystyle b_1=\frac{ 3}{ q }{ \small ,}\) то получаем два решения

\(\displaystyle b_1=\frac{3}{2},\,q=2\) и \(\displaystyle b_1=-\frac{3}{2},\,q=-2\small.\)

Подставим значения \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{4}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{\frac{3}{2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{2}{\small:}\)

\(\displaystyle S_{\color{red}{4}}=\frac{\color{blue}{\dfrac{3}{2}}\cdot\left(1-\color{green}{2}^{\color{red}{4}}\right)}{1-\color{green}{2}}\)

Находим значение получившегося выражения:

\(\displaystyle S_{4}=\frac{\dfrac{3}{2}\cdot\left(1-2^{4}\right)}{1-2}=\frac{\dfrac{3}{2}\cdot(-15)}{-1}=\frac{45}{2}=22{,}5\small.\)

Подставим значения \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{4}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{-\frac{3}{2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{-2}{\small:}\)

\(\displaystyle S_{\color{red}{4}}=\frac{\color{blue}{-\dfrac{3}{2}}\cdot\left(1-(\color{green}{-2})^{\color{red}{4}}\right)}{1-(-\color{green}{2})}\)

Находим значение получившегося выражения:

\(\displaystyle S_{4}=\frac{-\dfrac{3}{2}\cdot\left(1-(-2)^{4}\right)}{1-(-2)}=\frac{-\dfrac{3}{2}\cdot(-15)}{3}=\frac{15}{2}=7{,}5\small.\)