Известны суммы первых двух и первых четырех членов геометрической прогрессии:
\(\displaystyle S_{2}=5\) и \(\displaystyle S_{4}=85\)
Найдите квадрат знаменателя прогрессии
Решение 1.
Выразим, сумму нескольких первых членов геометрической прогрессии через первый член \(\displaystyle b_1\) и знаменатель \(\displaystyle q\small.\)
Для этого воспользуемся правилом:
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Запишем эту формулу для \(\displaystyle \color{blue}{n=2}\) и \(\displaystyle \color{green}{n=4}{\small:}\)
\(\displaystyle S_\color{blue}{2}=\frac{b_1\left(1-q^{\color{blue}{2}}\right)}{1-q}\) и \(\displaystyle S_\color{green}{4}=\frac{b_1\left(1-q^{\color{green}{4}}\right)}{1-q}\small.\)
Подставляя данные в условии значения \(\displaystyle S_\color{blue}{2}=5\) и \(\displaystyle S_\color{green}{4}=85{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle\begin{cases}\dfrac{b_1\left(1-q^{\color{blue}{2}}\right)}{1-q}=5,\\[10px]\dfrac{b_1\left(1-q^{\color{green}{4}}\right)}{1-q}=85\small.\end{cases}\)
\(\displaystyle q^2=16{\small.}\)
Чтобы решить данную систему, поделим второе уравнение на первое:
\(\displaystyle \dfrac{b_1\left(1-q^{\color{green}{4}}\right)}{1-q}:\dfrac{b_1\left(1-q^{\color{blue}{2}}\right)}{1-q}=85:5\small,\)
\(\displaystyle \frac{\cancel{b_1}\left(1-q^{{4}}\right)\cdot\cancel{(1-q)}}{\cancel{(1-q)}\cdot \cancel{b_1}(1-q^{{2}})}=17\small,\)
\(\displaystyle \frac{(1-q^{{4}})}{(1-q^{{2}})}=17\small.\)
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
\(\displaystyle \frac{\cancel{(1-q^2)}(1+q^2)}{\cancel{(1-q^2)}}=17\small,\)
\(\displaystyle q^2=16\small.\)
Ответ: \(\displaystyle q^2=16\small.\)
Решение 2.
Запишем суммы \(\displaystyle S_2\) и \(\displaystyle S_4\) через \(\displaystyle b_1\) и \(\displaystyle q{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{cases}S_2=b_1+b_1q\small,\\S_4=b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3\small.\end{cases}\)
По условию \(\displaystyle S_{2}=5\) и \(\displaystyle S_{4}=85\small.\) То есть
\(\displaystyle \begin{cases}5=b_1+b_1q\small,\\85=\color{blue}{b_1+b_1q}+b_1q^2+b_1q^3\small.\end{cases}\)
Первые два слагаемых во втором уравнении можно заменить на число \(\displaystyle 5{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{cases}5=b_1+b_1q\small,\\85=\color{blue}{5}+b_1q^2+b_1q^3\small.\end{cases}\)
Упростим второе уравнение.
\(\displaystyle \begin{cases}5=b_1+b_1q\small,\\80=b_1q^2+b_1q^3\small.\end{cases}\)
Поделим второе уравнение на первое:
\(\displaystyle \frac{80}{5}=\frac{b_1q^2+b_1q^3}{b_1+b_1q}\small,\)
\(\displaystyle 16=\frac{q^2\cancel{(b_1+b_1q)}}{\cancel{b_1+b_1q}}\small,\)
\(\displaystyle q^2=16\small.\)
Ответ: \(\displaystyle q^2=16\small.\)