Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии \(\displaystyle S_5{ \small ,}\) если \(\displaystyle b_1 = 3{ \small ,}\) \(\displaystyle q = 2{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle S_5{ \small ,} \) используя формулу суммы геометрической прогрессии.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим значения, предложенные в условии задания \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{5}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{3}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{2}{\small:}\)
\(\displaystyle S_{\color{red}{5}}=\frac{\color{blue}{3}\cdot(1-\color{green}{2}^{\color{red}{5}})}{1-\color{green}{2}}\)
Находим значение получившегося выражения:
\(\displaystyle S_5=\frac{3\cdot(1-2^5)}{1-2}=\frac{3\cdot(-31)}{-1}=\frac{-93}{-1}=93\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_5=93{\small .} \)