Найдите \(\displaystyle b_1\small,\) если \(\displaystyle S_{5} = 105{ \small ,}\, q= 4{\small .}\)
Выразим сумму первых пяти членов геометрической прогрессии через \(\displaystyle b_1\) и \(\displaystyle q\small.\)
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Для \(\displaystyle \color{red}{n=5}\small,\) получаем:
\(\displaystyle S_{\color{red}{5}}=\frac{b_1\left(1-q^5\right)}{1-q}\small.\)
Подставляя известные значения \(\displaystyle S_{5}=105\) и \(\displaystyle q= 4{\small,}\) получаем уравнение на \(\displaystyle b_1{\small:}\)
\(\displaystyle 105=\frac{b_1\left(1-4^5\right)}{1-4}\small.\)
Находим \(\displaystyle b_1{\small:}\)
\(\displaystyle 105=\frac{b_1\left(1-4^5\right)}{1-4}\small,\)
\(\displaystyle 105\cdot(-3)={b_1\left(1-4^5\right)}\small,\)
\(\displaystyle -315=-1023b_1\small,\)
\(\displaystyle b_1=\frac{315}{1023}=\frac{105}{341}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle b_1=\frac{105}{341}\small.\)