Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии \(\displaystyle S_4{ \small ,}\) если \(\displaystyle b_2 = 3{ \small ,}\,q= 2{\small .}\)
Если первый член геометрической прогрессии \(\displaystyle b_1\) и знаменатель \(\displaystyle q\small,\) то сумма первых четырех членов:
\(\displaystyle S_{\color{red}{4}}=b_1+b_2+b_3+b_{\color{red}{4}}\small.\)
Из условия известен второй член прогрессии \(\displaystyle b_2 = 3\) и знаменатель \(\displaystyle q= 2\small.\)
\(\displaystyle b_1=\frac{3}{2}\small.\)
Теперь найдем \(\displaystyle S_4{ \small ,} \) используя формулу суммы геометрической прогрессии.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим значения \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{4}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{\frac{3}{2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{2}{\small:}\)
\(\displaystyle S_{\color{red}{4}}=\frac{\color{blue}{\dfrac{3}{2}}\cdot\left(1-\color{green}{2}^{\color{red}{4}}\right)}{1-\color{green}{2}}\)
Вычислим значение получившегося выражения:
\(\displaystyle S_4=\frac{\dfrac{3}{2}\cdot\left(1-2^4\right)}{1-2}=\frac{\dfrac{3}{2}\cdot(-15)}{-1}=\frac{45}{2}=22{,}5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_4=22{,}5{\small .} \)